\(\def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Definition [Eigenvektor]
Der Vektor $\vec{x}^{\lambda}$, der zu einem Eigenwert $\lambda$
das Eigenwertproblem löst, heißt Eigenvektor.
Der Eigenvektor $\vec{x}^{\lambda}$ ist definiert durch:
\begin{equation*}
{\rm \bf A} \cdot \vec{x}^{\lambda} = \lambda \vec{x}^{\lambda}
\qquad \hbox{bzw.} \qquad ({\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I})
\cdot \vec{x}^{\lambda} = \vec{0}.
\end{equation*}
Eine Multiplikation der Definitionsgleichung mit der Zahl $\alpha
\ne 0$ auf beiden Seiten liefert:
\begin{equation*}
{\rm \bf A}\cdot (\alpha \cdot \vec{x}^{\lambda}) =
\lambda(\alpha \cdot \vec{x}^{\lambda})
\end{equation*}
d.h. ist $\vec{x}^{\lambda}$ ein Eigenvektor, dann ist
$\alpha\vec{x}^{\lambda}$ ebenfalls ein Eigenvektor.
Somit können Eigenvektoren auf eine bestimmte Länge normiert
werden (für eine Definition der Länge eines Vektors vgl. die Definition in
Skalarprodukt
). Eigenvektoren werden in der Regel auf die Länge $1$ normiert.
{Fortsetzung Beispiel 1}
Fortsetzung des Beispiels 1 aus Abschnitt
Beispiele:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}1-\lambda_1 &1\cr 1 &1-\lambda_1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}0\cr 0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
In Beispiel 1 wurde $\lambda_1 = 0$ als ein Eigenwert ermittelt.
Einsetzen dieses Wertes liefert:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}1 &1\cr 1 &1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cr
0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Also:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}x_1+x_2\cr x_1+x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cr
0\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Hieraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit zwei
Gleichungen und zwei Unbekannten. Dennoch gibt es keine eindeutige
Lösung für die beiden Unbekannten $x_1$ und $x_2$, denn die beiden
Gleichungen sind linear abhängig (und in diesem Beispiel sogar
identisch). Dies ist aber keine Eigenschaft des speziellen
Beispiels, sondern ergibt sich aus der Konstruktion der
Eigenwerte. In der Definition der Eigenwerte wurde zur Bestimmung
nicht-trivialer Lösungen $|{\rm \bf A} - \lambda{\rm \bf I}|$
gleich Null gesetzt und damit impliziert, dass die Zeilen von
${\rm \bf A} - \lambda{\rm \bf I}$ linear abhängig sind.
Als Lösung wird also ermittelt:
\begin{equation*}
1\cdot x_1 + 1 \cdot x_2 = 0.
\end{equation*}
Es gilt somit:
\begin{equation*}
x_1 = - x_2.
\end{equation*}
Dementsprechend ist $\begin{pmatrix}1\cr -1\end{pmatrix}$ ein
möglicher Eigenvektor. Dieser Eigenvektor hat die Länge:
\begin{equation*}
\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}.
\end{equation*}
Um den Eigenvektor auf Länge $1$ zu normieren, werden seine
Komponenten $x_1$ und $x_2$ durch seine Länge geteilt:
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\cr -1\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\cr
\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \vec{x}^{\lambda_1}.
\end{equation*}
Der Vektor $\vec{x}^{\lambda_1}$ ist der zum Eigenwert $\lambda_1$
gehörige Eigenvektor.
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Danach ist also auch
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix}
\end{equation*}
ein gültiger Eigenvektor. Normieren auf die Länge 1 ergibt:
\begin{equation*}
{1\over \sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1\over \sqrt{2}\cr 1\over \sqrt{2}\end{pmatrix} =
\vec{x}^{\lambda_2}.
\end{equation*}
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ ist
\begin{equation*}
\vec{x}^T\cdot \vec{y} = \sum\limits_{i=1}^n x_iy_i
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}1 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\cr -1\end{pmatrix} = 1 - 1 = 0.
\end{equation*}
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Orthogonale Eigenvektoren (normiert)
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Da ihr Skalarprodukt Null ist, sind die Vektoren entsprechend Definition von
Orthogonalität von Vektoren in Vektorprodukt
orthogonal zueinander.
Sie stehen also senkrecht aufeinander und haben außerdem jeweils
die Länge 1. Somit bilden sie ein Orthonormalsystem.
Definition [Orthonormalsystem]
Ein System von $n$ normierten Vektoren, die paarweise senkrecht
aufeinander stehen (orthogonal zueinander sind), heißt
Orthonormalsystem.