Die Formel
$ \vec x^{T}\cdot\vec y = |\vec x|\cdot|\vec y|\cdot\cos\sphericalangle(\vec x,\vec y)$
kann in zwei Weisen interpretiert werden:
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Man betrachtet die Projektion eines Vektors auf den anderen, also z.B.
$p_{\vec y,\vec x}$ des Vektors $\vec y$ auf den Vektor $\vec x$
(vgl. nebenstehende Komponente).
Nach Definition des Cosinus gilt $cos \gamma=\frac{p_{\vec y,\vec x}}{|\vec y|}$
bzw.
$$p_{\vec y,\vec x}= |\vec y|\cdot \cos \gamma.$$
also
\begin{equation*}
\vec x^{T}\cdot\vec y = |\vec x|\cdot p_{\vec y,\vec x}
\end{equation*}
Das Skalarprodukt ergibt sich damit aus dem Produkt der Länge von
$\vec x$ mit der Projektion von $\vec y$ auf $\vec x$.
- Umformen der Formel liefert
\begin{equation*}
cos\sphericalangle(\vec x,\vec y)=\frac{\vec x^{T}\cdot\vec y}{|\vec x|\cdot|\vec y|}
\end{equation*}
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Dargestellt sind die zwei Vektoren $\vec x$ (grün) und $\vec y$ (blau).
Die Komponente zeigt den Zusammenhang von Vektorprodukt, Projektion
und der Cosinusfunktion. Die Projektion von y auf x $p_{\vec x,\vec y}$ ist
durch die rote Strecke gekennzeichnet.
Sie können sowohl den Vektor $\vec x$, wie $\vec y$ verschieben, indem
Sie die Spitzen der Vektoren mit der Maus ziehen.
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