\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Benutzt man den Kosinussatz \begin{equation*} c^2=a^2+b^2 -2ab\cos \gamma \end{equation*} (wobei $\gamma$ der Seite c gegenüber liegt) so gilt bei dem von $\vec x$ und $\vec y$ aufgespannten Dreieck: \begin{equation*} |\vec x-\vec y|\cdot|\vec x-\vec y|=|\vec x|\cdot|\vec x|+|\vec y|\cdot|\vec y| -2|\vec x|\cdot|\vec y|\cos \gamma \end{equation*} Dies kann -- wegen der obigen Definition $|\vec x|=\sqrt{\vec x^T\vec x}$ -- umgeformt werden zu \begin{equation*} (\vec x-\vec y)^T\cdot(\vec x-\vec y)=\vec x^T\cdot\vec x+\vec y^T\cdot\vec y -2|\vec x|\cdot|\vec y|\cos \gamma \end{equation*}
Skalarprodukt
Ausmultiplizieren der linken Seite liefert: \begin{equation*} \vec x^T\vec x -2\vec x^T\vec y +\vec y^T\vec y =\vec x^T\cdot\vec x+\vec y^T\cdot\vec y -2|\vec x|\cdot|\vec y|\cos \gamma \end{equation*} und somit \begin{equation} \label{SkalarProdKosinus} \vec x^{T}\cdot\vec y = |\vec x|\cdot|\vec y|\cdot\cos\sphericalangle(\vec x,\vec y) \end{equation}