Beispiel 2
Gegeben sei die Matrix:
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 &0\cr 0 &1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Die Eigenwerte müssen gemäß Definition
die Gleichung $({\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I}) \cdot \vec{x} =
\vec{0}$ erfüllen. Zur Ermittlung der nicht-trivialen Lösung wird
$|{\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I}|$ gleich Null gesetzt, also in
diesem Beispiel:
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}1 - \lambda &0\cr 0 &1 - \lambda\end{vmatrix} = 0.
\end{equation*}
Folglich gilt:
\begin{eqnarray*}&(\lambda -1 )\cdot(\lambda-1 ) = 0&\\
&\lambda_1 = \lambda_2 = 1.&\end{eqnarray*}
Das Ergebnis ist eine doppelte Nullstelle als Eigenwert.
Beispiel 3
Gegeben sei die Matrix:
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}0 &-1\cr 1 &0\end{pmatrix}
\end{equation*}
Dann ist:
\begin{equation*}
\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} = \begin{pmatrix}-\lambda &-1\cr 1
&-\lambda\end{pmatrix}
\end{equation*} Zur Ermittlung der Eigenwerte der Matrix
${\rm \bf A}$ setzen wir $|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| $
gleich Null und erhalten:
\begin{equation*}
\lambda^2 + 1 = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda = \sqrt{-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda_1 = \sqrt{-1}, \quad \lambda_2 = -\sqrt{-1}.
\end{equation*}
Wir erhalten also zwei konjugiert komplexe Eigenwerte als Lösung.
Das Ergebnis kann auch in folgender Weise in faktorisierter Form
geschrieben werden:
\begin{equation*}
(x - \lambda_1)(x - \lambda_2) = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
(x-\sqrt{-1})\cdot (x+\sqrt{-1})=0
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^2-x\sqrt{-1}+x\sqrt{-1}-\sqrt{-1}\sqrt{-1}=0
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^2+1=0.
\end{equation*}