\(\def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Beispiel 1
Gegeben sei die Matrix: \begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 &1\cr 1 &1\end{pmatrix}. \end{equation*} Dann ist \begin{equation*} \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} = \begin{pmatrix}1-\lambda &1\cr 1 &1-\lambda\end{pmatrix} \end{equation*} mit \begin{eqnarray*} \left\vert \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\right\vert &= &(1 - \lambda )^2 - 1\\ &= &1 - 2\lambda + \lambda^2 - 1\\ &= &\lambda^2 - 2 \lambda \\ &= &(\lambda-0)\cdot (\lambda -2) \buildrel \rm ! \over = 0. \end{eqnarray*} Die Eigenwerte der Matrix \begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 &1\cr 1 &1\end{pmatrix} \end{equation*} sind also $\lambda_1 = 0$ und $\lambda_2 = 2$.
Beispiel 2
Gegeben sei die Matrix: \begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 &0\cr 0 &1\end{pmatrix}. \end{equation*} Die Eigenwerte müssen gemäß Definition die Gleichung $({\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I}) \cdot \vec{x} = \vec{0}$ erfüllen. Zur Ermittlung der nicht-trivialen Lösung wird $|{\rm \bf A} - \lambda {\rm \bf I}|$ gleich Null gesetzt, also in diesem Beispiel: \begin{equation*} \begin{vmatrix}1 - \lambda &0\cr 0 &1 - \lambda\end{vmatrix} = 0. \end{equation*} Folglich gilt: \begin{eqnarray*}&(\lambda -1 )\cdot(\lambda-1 ) = 0&\\ &\lambda_1 = \lambda_2 = 1.&\end{eqnarray*}

Das Ergebnis ist eine doppelte Nullstelle als Eigenwert.

Beispiel 3

Gegeben sei die Matrix: \begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix}0 &-1\cr 1 &0\end{pmatrix} \end{equation*} Dann ist: \begin{equation*} \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} = \begin{pmatrix}-\lambda &-1\cr 1 &-\lambda\end{pmatrix} \end{equation*} Zur Ermittlung der Eigenwerte der Matrix ${\rm \bf A}$ setzen wir $|\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}| $ gleich Null und erhalten: \begin{equation*} \lambda^2 + 1 = 0 \end{equation*} \begin{equation*} \lambda = \sqrt{-1} \end{equation*} \begin{equation*} \lambda_1 = \sqrt{-1}, \quad \lambda_2 = -\sqrt{-1}. \end{equation*} Wir erhalten also zwei konjugiert komplexe Eigenwerte als Lösung. Das Ergebnis kann auch in folgender Weise in faktorisierter Form geschrieben werden: \begin{equation*} (x - \lambda_1)(x - \lambda_2) = 0 \end{equation*} \begin{equation*} (x-\sqrt{-1})\cdot (x+\sqrt{-1})=0 \end{equation*} \begin{equation*} x^2-x\sqrt{-1}+x\sqrt{-1}-\sqrt{-1}\sqrt{-1}=0 \end{equation*} \begin{equation*} x^2+1=0. \end{equation*}