Beispiel Die Lineare Technologie mit zwei Inputfaktoren Seien $a_1$ und $a_2$ Parameter mit $0 < a_i $, dann ist: \begin{equation*} V(y)=\left\{ (x_1 , x_2 )\in R^2,y\le a_1x_1+a_2 x_2\right\} \end{equation*} \begin{equation*} Q(y) = \left\{ (x_1 , x_2 )\in R^2 , y = a_1 x_1 + a_2 x_2 \right\} \end{equation*} \begin{equation*} y=f(x_1,x_2)= a_1 x_1 + a_2 x_2 \end{equation*} Bei der linearen Produktionsfunktion sind die Faktoren vollständige Substitute, d.h. die können einander im Produktionsprozess ersetzen. z.B. Waschpulver und Waschflüssigkeit Die lineare Technologie wird später noch genauer untersucht, wenn die Konzepte wie Substitutionsrate, Expansionspfad, Kostenfunktion eingeführt worden sind.

Lin. Produktionsfunktion

Beispiel Cobb-Douglas-Technologie
Die allgemeine Cobb-Douglas-Technologie mit zwei Inputfaktoren ist definiert durch \begin{equation*} V(y) = \left\{ (x_1 , x_2 )\in R^2, y \le A \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2} \right\} \end{equation*} \begin{equation*} Q(y) = \left\{ (x_1 , x_2 )\in R^2, y = A \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2} \right\} \end{equation*} \begin{equation*} f(x_1,x_2) = A\cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2} \end{equation*} Dabei ist $A$ eine feste Konstante. Entsprechend kann eine allgemeine Cobb-Douglas-Technologie mit mehr als zwei Inputfaktoren definiert werden. \begin{equation*} V(y) = \left\{ (x_1 , x_2\dots , x_n )\in R^n, y \le A \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\dots x_n^{a_n}\right\} \end{equation*} \begin{equation*} Q(y) = \left\{ (x_1 , x_2, \dots , x_n )\in R^n, y = A \cdot x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}\dots x_n^{a_n} \right\} \end{equation*} \begin{equation*} f(x_1,x_2, ..., x_n) = A x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2} \cdot \dots \cdot x_n^{a_n} \end{equation*}

Auch die Cobb-Douglas-Technologie wird später noch genauer untersucht, wenn die Konzepte wie Substitutionsrate, Expansionspfad, Kostenfunktion eingeführt worden sind.

Beispiel Die Leontief-Technologie
Inputerfordernismenge der Leontief-Technologie \begin{equation*} V(y) = \left\{ (x_1 , x_2 )\in R^2 , y \le \min\left\{ {x_1 \over a_1}, {x_2\over a_2} \right\} \right\} \end{equation*} Isoquante der Leontief-Technologie \begin{equation*} Q(y) = \left\{ (x_1 , x_2 )\in R^2 , y = \min\left\{ {x_1\over a_1}, {x_2\over a_2} \right\} \right\} \end{equation*} Die Leontief-Produktionsfunktion \begin{equation*} y=f(x_1,x_2)= \min\left\{ {x_1\over a_1}, {x_2\over a_2} \right\} \end{equation*}

Wir bestimmen die Isoquante mit dem Output eins zur Leontief-Technologie: Ist z.B. $ x_1 = a_1 \quad,\quad x_2 = a_2$ so ist \begin{equation*} y=f(x_1,x_2)= \min\left\{ {a_1\over a_1}, {a_2\over a_2} \right\} = 1 \end{equation*} Ist z.B. $x_1 \ge a_1 \quad,\quad x_2 = a_2$ so ist \begin{equation*} y=f(x_1,x_2)= \min\left\{ {x_1\over a_1}, {a_2\over a_2} \right\} = 1 \end{equation*} Ist z.B. $ x_1 = a_1 \quad,\quad x_2 \ge a_2$ so ist \begin{equation*} y=f(x_1,x_2)= \min\left\{ {a_1\over a_1}, {x_2\over a_2} \right\} = 1 \end{equation*}

Die Leontief Technologie

Damit besteht die Einheitsisoquante aus dem Punkt $(a_1,a_2)$ und den senkrecht darüber liegenden und den waagerecht rechts davon liegenden Punkten. Die Leontief-Technologie wird auch als lineare Technologie oder Technologie der Aktivitäten (Aktivitätsanalyse) bezeichnet. Die Aktivitäten (Input/Output) können als Vektor geschrieben werden, danach ist jede Produktion darstellbar als \begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 \cr -a_1 \cr -a_2 \end{pmatrix} \begin{matrix} \hbox{ Gut }\cr \hbox {Input 1}\cr \hbox {Input 2} \end{matrix} \end{equation*} wobei negative Einträge Inputs und positive Outputs darstellen.

Auch die Leontief-Technologie wird später noch genauer untersucht, wenn die Konzepte wie Substitutionsrate, Expansionspfad, Kostenfunktion eingeführt worden sind.