Definition Die verallgemeinerte lineare Produktionsfunktion ist definiert durch: \begin{equation*} y = \left( a_1x_1 + a_2x_2\right)^r \end{equation*} für $r \gtreqqless 1$.

Isoquanten Für ein konstantes $y$ lösen wir die Produktionsfunktion nach $x_2$ auf: \begin{equation*} x_2 = - \frac{a_1}{a_2}x_1 +\frac{y^{1/r}}{ a_2} \end{equation*} Die Isoquanten sind Geraden mit der Steigung \(- \frac{a_1}{a_2}\) und den Achsabschnitten \(\frac{y^{1/r}}{ a_2}\).

Homogenitätsgrad

Der Homogenitätsgrad ist r.
Der Expansionspfad Der Expansionspfad ergibt sich aus der Optimaltätsbedingung. Dazu sollte man ein Tangentialpunkt der Isoquanten und Isokosten finden. Bei der linearen Funktion gibt eine solche Beziehung nicht.
$x_1=0 \Rightarrow x_2$-Achse ist der Expansionspfad \begin{equation*} y = \left( a_2\cdot x_2\right)^r \end{equation*} $x_2=0 \ \Rightarrow \ x_1$-Achse ist der Expansionspfad \begin{equation*} y = \left( a_1\cdot x_1\right)^r \end{equation*}

Die bedingte Faktornachfrage ist der Schnittpunkt von Expansionspfad und Isoguante.
Wegen $x_1 = 0$ vereinfacht sich die Produktionsfunktion zu $y =\left( a_2\cdot x_2\right)^r$ also     \begin{equation*} x_2 = {y^{\frac{1}{ r}}\over a_2},\ \ \ \ \ x_1 = 0 \end{equation*} Wegen $x_2 = 0$ vereinfacht sich die Produktionsfunktion zu $y =\left( a_1\cdot x_1\right)^r$ also   \begin{equation*} x_1 = {y^{\frac{1}{ r}}\over a_1},\ \ \ \ \ x_2 = 0 \end{equation*}