Definition

Die Cobb-Douglas-Funktion ist definiert durch \begin{equation} y = A \cdot (x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2})^r \quad a_1>0, a_2>0, a_1 + a_2 = 1 \end{equation} Durch Normierung bzw. Substitution $y \buildrel \rm def \over = {y\over A}$ kann erreicht werden, dass gilt \begin{equation}y = (x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2})^r \end{equation} \begin{equation} y = x_1^{ra_1} \cdot x_2^{ra_2}\end{equation} Von dieser Beziehung werden wir im Folgenden ausgehen.
Bemerkung
In vielen Büchern wird die Cobb-Douglas-Funktion folgendermaßen eingeführt: \begin{equation} y = A \cdot (x_1^{\alpha} \cdot x_2^{\beta}) \quad \alpha>0, \beta>0 \end{equation} Setzt man \(a_1=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\), \(a_2=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\) und \(r=\alpha+\beta\) so ergibt sich \(a_1+a_2=1\) und \begin{equation} y = A \cdot (x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2})^r = A \cdot \left(x_1^{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} \cdot x_2^{\frac{\beta}{\alpha+\beta}}\right)^{\alpha+\beta} = A \cdot (x_1^{\alpha} \cdot x_2^{\beta}) \end{equation} Beide Definitionen sind also äquivalent. Die hier gewählte Definition erlaubt einen einfacheren Vergleich mit Leontief- und CES-Funktion.