Aus der Stellung von $\lambda$ in der Lagrangefunktion kann man vermuten, dass $\lambda$ die Auswirkung der Restriktion $v$ (im Beispiel also den Faktorbestand) widerspiegelt. Darum werden nachfolgend die optimalen $x_1^*, x_2^*, \lambda^*$ als Funktion von $v$ geschrieben: $$x_1^* = x_1^*(v), \quad x_2^* = x_2^*(v), \quad \lambda^* = \lambda^*(v)$$ \begin{eqnarray*} L&=& f(x_1, x_2) + \lambda (v - g(x_1,x_2))\\ &=& f(x_1(v), x_2(v)) + \lambda (v)(v - g(x_1(v), x_2(v))) \end{eqnarray*} Untersucht werden die Auswirkungen einer marginal kleinen Erhöhung von $v$. Dazu differenzieren wir $L$ nach $v$.
Haushaltsoptimum
\begin{eqnarray*} {\partial L\over \partial v} &=& {\partial f\over \partial x_1}\cdot {\partial x_1\over \partial v} + {\partial f\over \partial x_2} {\partial x_2\over \partial v} + {\partial \lambda\over \partial v} (v - g(x_1, x_2)) + \lambda (1 - {\partial g\over \partial x_1} {\partial x_1\over \partial v} - {\partial g\over \partial x_2} {\partial x_2\over \partial v})\\ &=&\!\!\underbrace{\left({\partial f\over \partial x_1} - \lambda {\partial g\over \partial x_1}\right)}_{\hbox{$\begin{matrix}= 0\cr \hbox{an der Stelle $\vec{x}^*, \lambda^*$}\end{matrix}$}}\!{\partial x_1\over \partial v}\!+\!\underbrace{\left({\partial f\over \partial x_2} - \lambda {\partial g\over \partial x_2}\right)}_{\hbox{$\begin{matrix}= 0\cr \hbox{an der Stelle $\vec{x}^*, \lambda^*$}\end{matrix}$}} {\partial x_2\over \partial v} - {\partial \lambda\over \partial v} \underbrace{\left(v - g(x_1, x_2)\right)}_{\hbox{$\begin{matrix}= 0\cr \hbox{an der Stelle $\vec{x}^*, \lambda^*$}\end{matrix}$}} + \lambda \end{eqnarray*}

Folglich ergibt sich, dass der Lagrangemultiplikator als Zuwachs der Zielfunktion interpretiert werden kann, wenn die Beschränkungsbedingung um eine marginale Einheit gelockert wird. Damit entspricht $\lambda$ dem Wert, den der Nutzer der zugrundeliegenden Ressource zumisst. $\lambda$ kann also als Preis interpretiert werden. Im Beispiel ist $\lambda$ der gesellschaftliche Grenznutzen einer zusätzlichen Gütereinheit.
Es fällt auf, dass in dieser Beziehung im Optimum alle Terme außer $\lambda$ null werden. Diese Eigenschaft kann verallgemeinert werden und wird später im Zusammenhang mit dem so genannten Umhüllenden-Satz genutzt (vgl. Abschnitt Umhuellenden-Satz. Mit Hilfe jenes Satzes wird die obige Herleitung deutlich einfacher in Beispiel 2 durchgeführt.)