\begin{eqnarray*} U(\vec{x}) &\rightarrow& \max\\ \vec{p} \cdot \vec{x} &=& E \end{eqnarray*} In Abschnitt Interpretation von λ wurde die Auswirkung einer marginalen Änderung der Nebenbedingung untersucht.
Im Folgenden wird gezeigt, dass sich die Auswirkungen einer Änderung des Parameters $E$ mit Hilfe des Umhüllenden-Satzes deutlich einfacher untersuchen lassen.
Dazu wird die zum Problem gehörende Lagrangefunktion gebildet: $$L(\vec{x},\lambda) = U(\vec{x}) + \lambda (E - \vec{p} \cdot \vec{x})$$ Die optimalen Werte $\vec{x}^*$ und $\lambda^*$ sind von $\vec{p}$ und $E$ abhängig, also: \begin{eqnarray*} \vec{x}^*(\vec{p},E) &\quad& \text{( Marshallsche Nachfrage)}\\ \lambda^*(\vec{p},E) && \end{eqnarray*} Somit auch: $$L^* = L\left(\vec{x}^*(\vec{p}, E), \ \lambda^* (\vec{p}, E)\right) = L^*(\vec{p}, E)$$ Entsprechend dem Umhüllenden-Satz erhält man die Auswirkung einer marginalen Änderung von $E$ durch Ableitung der Lagrangefunktion nach diesem Parameter, also: $${\partial L^*\over \partial E} = {\partial \left(U(\vec{x}^*) + \lambda^*(E - \vec{p} \cdot \vec{x})\right)\over \partial E} = \lambda^*$$ Das Grenznutzen des Einkommens ist gleich dem Lagrangekoeffizienten.