\begin{eqnarray*}
U(\vec{x}) &\rightarrow& \max\\
\vec{p} \cdot \vec{x} &=& E
\end{eqnarray*}
In Abschnitt
Interpretation von λ
wurde die Auswirkung einer marginalen Änderung der Nebenbedingung untersucht.
Im Folgenden wird gezeigt, dass sich die Auswirkungen einer Änderung des Parameters $E$
mit Hilfe des Umhüllenden-Satzes deutlich einfacher untersuchen lassen.
Dazu wird die zum Problem gehörende Lagrangefunktion gebildet:
$$L(\vec{x},\lambda) = U(\vec{x}) + \lambda (E - \vec{p} \cdot \vec{x})$$
Die optimalen Werte $\vec{x}^*$ und $\lambda^*$ sind von $\vec{p}$ und $E$ abhängig, also:
\begin{eqnarray*}
\vec{x}^*(\vec{p},E) &\quad& \text{( Marshallsche Nachfrage)}\\
\lambda^*(\vec{p},E) &&
\end{eqnarray*}
Somit auch:
$$L^* = L\left(\vec{x}^*(\vec{p}, E), \ \lambda^* (\vec{p}, E)\right) =
L^*(\vec{p}, E)$$
Entsprechend dem Umhüllenden-Satz erhält man die Auswirkung einer marginalen Änderung von
$E$ durch Ableitung der Lagrangefunktion nach diesem Parameter, also:
$${\partial L^*\over \partial E} =
{\partial \left(U(\vec{x}^*) + \lambda^*(E - \vec{p} \cdot
\vec{x})\right)\over \partial E} = \lambda^*$$
Das Grenznutzen des Einkommens ist gleich dem Lagrangekoeffizienten.