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Gegeben sei ein gewinnmaximierender Unternehmer unter vollständiger Konkurrenz (Mengenanpasser). Das Optimierungsproblem lautet: $$G = p \cdot x - C(x) =: f(x,p) \longrightarrow \max$$
(Der Output wird also als $x$ notiert, mit $C'>0$, $C''$$>0$ (abnehmende Skalenerträge))
Die Optimierungsbedingungen dieses Problems sind: \begin{equation*} \left.\begin{aligned} \text{1. Ordnung }\quad &{\partial f\over \partial x}&=& p - {dC\over dx} &{\buildrel \rm ! \over =}& 0 \\ \text{2. Ordnung }\quad &{\partial^2 f\over \partial x^2} &=& - {d^2C\over dx^2} &<& 0 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \begin{aligned} \text{Lösung} \ x = x(p) \end{aligned} \end{equation*} Frage:
Wie ändert sich der Gewinn, wenn der Unternehmer die gewinnmaximale Menge $x^*$ produziert und sich ein Parameter der Gewinnfunktion (z.B. der Preis $p$) um eine marginale Einheit steigt?
Die naive Vorgehensweise ist, die Gewinnfunktion nach dem Parameter $p$ abzuleiten: \[{dG\over dp} = {d(p\cdot x - C(x))\over dp} = x \] Diese Vorgehensweise ist nicht korrekt, da $x$ eine Funktion von $p$ ist: \begin{eqnarray*} x &= &x(p)\\ \text{und damit auch } x^* &= &x^*(p) \end{eqnarray*} Somit ist $p$ ein Parameter der Gewinnfunktion und im Gewinnmaximum gilt: $$G^* = p \cdot x^*(p) - C(x^*(p)) = f(x^*(p), p)$$ Veränderungen des Preises $p$ wirken zum einen direkt und zum anderen indirekt auf den Gewinn: $$\begin{matrix} {dG^*\over dp} &= &{\partial f\over \partial x^*}\ \cdot \ {dx^*\over dp} &+ &{\partial f\over \partial p}\hfill\cr &&\uparrow \qquad \uparrow &&\uparrow\hfill\cr &&\hbox{Effekt von     Effekt von} &&\hbox{direkter Effekt von $p$ auf $f$}\cr &&\underbrace{\hbox{$x$ auf $f$     $p$ auf $x$}}_{\hbox{$\vcenter{{\hbox{indirekter Effekt}\hbox{von $p$ über $x$ nach $f$}}}$}} \end{matrix}$$
Entsprechend der Optimumbedingung erster Ordnung gilt im Optimum: \[{dG^*\over dp} = {\partial f\over \partial x^*} \cdot {dx^*\over dp} + {\partial f\over\partial p} = \underbrace{(p-\frac{\partial C}{\partial x^*})}_{{\buildrel \rm ! \over =}\ 0 \text{ im Optimum}} \cdot {dx^*\over dp} + x^*\] Also $${dG^*\over dp} = x^* $$ Als Ergebnis lässt sich festhalten, dass der Effekt einer marginalen Änderung von $p$ auf $G^*$ bei optimaler Anpassung von $x^*$ genau so ist, als ob $x^*$ nicht angepasst wurde. Daraus wird der so genannte Umhüllenden-Satz abgeleitet. \begin{