Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Satz [Optimumbedingung erster Ordnung] $$dy = 0$$ Es ist: \begin{eqnarray} dy = {\partial f\over \partial x_{1}} dx_{1} + {\partial f\over \partial x_{2}} dx_{2} + \dots + {\partial f\over \partial x_{n}} dx_{n} = 0 \end{eqnarray} Da diese Beziehung für beliebige $dx_{i}$ gelten muss (also auch für den Fall $dx_{2} = dx_{3} = ... = dx_{n} =0$), folgt zwingend: $${\partial f\over \partial x_{1}} = {\partial f\over \partial x_{2}} = \dots = {\partial f\over \partial x_{n}} = 0$$ bzw. in anderer Schreibweise\footnote{Der Ausdruck $\partial f\over \partial x_{1}$ in der Leibnitz-Schreibweise entspricht $f_{x_{1}}$ bzw. noch kürzer $f_{1}$ in der Newton-Schreibweise.}: $$f_{1} = f_{2} = \dots f_{n} = 0$$

In der folgenden Aufgabe soll für ein einfaches ökonomisches Problem die notwendige Bedingung abgeleitet werden.
Aufgabe
Die Preis-Absatzfunktion eines Monopolisten sei $$p=a - bx \qquad a >0, \ b> 0$$ Der Monopolist erzeugt seinen Output in zwei Betrieben $I$ und $II$. $x_1$ sei der Output in Betrieb $I$ und $x_2$ in Betrieb $II$. Die Kostenfunktion sei $C^{I}(x_1)$ in Betrieb $I$ und $C^{II}(x_2)$ in Betrieb $II$.
  1. Stellen Sie Bedingungen erster Ordnung für ein Gewinnmaximum des Monopolisten auf.
  2. Nehmen Sie an, der Unternehmer produziert in den Betrieben $I$ und $II$ mit den quadratischen Kostenfunktionen \begin{align*} C^{I}(x_1)\hfill &= c\cdot x_1^2 \qquad c > 0\\ \\ C^{II}(x_2) &= d\cdot x_2^2 \qquad d > 0 \end{align*} Ermitteln Sie die Produktionsmengen $x_1$, $x_2$.
Lösung
  1. Gewinnmaximierung eines Monopolisten mit zwei Produktionsbetrieben \begin{eqnarray*} p &&\hbox{Preis des produzierten Gutes}\\ x_1, x_2 &&\hbox{Output der beiden Betriebe} \end{eqnarray*} Annahmegemäß existiere eine lineare Preisabsatzfunktion (inverse Marktnachfrage): $$p=a-b\cdot x = a - b (x_1 + x_2)$$ Gesamterlös: \begin{eqnarray*} E(x_1,x_2) &=& p(x_1+x_2) = (a-b(x_1+x_2))(x_1+x_2)\\ &= & a(x_1+x_2) - b(x_1 + x_2)^2 \end{eqnarray*} Gesamtkosten: $$C(x_1, x_2) = C^I(x_1) + C^{II}(x_2)$$ Gesamtgewinnmaximierung: $$G(x_1, x_2) = E(x_1,x_2) - C(x_1,x_2) \rightarrow \max $$ Notwendige Bedingungen erster Ordnung
    \footnote{In der hier verwendeten Newton-Schreibweise bedeutet beispielsweise $G_1(x_1, x_2)$ die partielle Ableitung der Funktion $G(x_1, x_2)$ nach $x_1$.}
  2. \begin{eqnarray*} G_1(x_1, x_2)\hfill &= &E_1(x_1, x_2)\hfill -C_1(x_1, x_2) \buildrel \rm !\over = 0\hfill\\ G_2(x_1, x_2)\hfill &= &E_2(x_1, x_2)\hfill - C_2(x_1, x_2) \buildrel \rm !\over = 0\hfill \end{eqnarray*} Bei den notwendigen Bedingungen erster Ordnung handelt es sich also um zwei Gleichungen in zwei Unbekannten. \begin{eqnarray*} E &=& p\cdot x = (a-bx)x = ax - bx^2 = a(x_1 + x_2) - b(x_1 + x_2)^2\\ \\ C(x) &=& C(x_1,x_2) = cx_1^2 + dx_2^2\\ \\ E_1 &=& a - 2b(x_1 + x_2)\\ E_2 &=& a - 2b(x_1 + x_2)\\ \\ C_1 &=& 2cx_1\\ C_2 &=& 2dx_2\\ \\ G_1 &= &a-2b(x_1 + x_2) - 2cx_1\\ &= &a-2(b+c)x_1 - 2 bx_2 \buildrel \rm ! \over = 0\\ G_2 &= &a - 2b(x_1 + x_2) - 2dx_2\hfill\\ &= &a - 2bx_1 - 2(b+d) x_2 \buildrel \rm ! \over = 0 \end{eqnarray*} also \begin{eqnarray*} a &= &2(b+c)x_1 + 2bx_2 \\ a &= &2bx_1 + 2(b+d)x_2 \end{eqnarray*} bzw. $$\begin{pmatrix}2(b+c) &&2b\cr 2b &&2(b+d)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\cr x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\cr a\end{pmatrix}$$ Das Gleichungssystem wird mit Hilfe der Cramer}schen Regel gelöst und liefert: \begin{eqnarray*} x_1 &= & {\begin{vmatrix}a &2b\\ a &2b+2d\end{vmatrix}} \over{\begin{vmatrix}2b+2c &2b\\ 2b &2b+2d\end{vmatrix}}\\ x_2 &= & {\begin{vmatrix}2b+2c &a\\ 2b &a\end{vmatrix}} \over{\begin{vmatrix}2b+2c &2b\\ 2b &2b+2d\end{vmatrix}} \end{eqnarray*}