Satz [Optimumbedingung erster Ordnung]
$$dy = 0$$
Es ist:
\begin{eqnarray}
dy = {\partial f\over \partial x_{1}} dx_{1} + {\partial f\over
\partial x_{2}} dx_{2} + \dots + {\partial f\over \partial x_{n}}
dx_{n} = 0
\end{eqnarray}
Da diese Beziehung für beliebige $dx_{i}$ gelten muss (also auch
für den Fall $dx_{2} = dx_{3} = ... = dx_{n} =0$), folgt zwingend:
$${\partial f\over \partial x_{1}} = {\partial f\over \partial
x_{2}} = \dots = {\partial f\over \partial x_{n}} = 0$$
bzw. in anderer Schreibweise\footnote{Der Ausdruck $\partial
f\over \partial x_{1}$ in der Leibnitz-Schreibweise entspricht
$f_{x_{1}}$ bzw. noch kürzer $f_{1}$ in der Newton-Schreibweise.}:
$$f_{1} = f_{2} = \dots f_{n} = 0$$
Aufgabe
Die Preis-Absatzfunktion eines Monopolisten sei
$$p=a - bx \qquad a >0, \ b> 0$$
Der Monopolist erzeugt seinen Output in zwei Betrieben $I$ und
$II$. $x_1$ sei der Output in Betrieb $I$ und $x_2$ in Betrieb
$II$. Die Kostenfunktion sei $C^{I}(x_1)$ in Betrieb $I$ und
$C^{II}(x_2)$ in Betrieb $II$.
- Stellen Sie Bedingungen erster Ordnung für ein Gewinnmaximum des Monopolisten auf.
- Nehmen Sie an, der Unternehmer produziert in den Betrieben $I$ und $II$ mit den quadratischen
Kostenfunktionen
\begin{align*}
C^{I}(x_1)\hfill &= c\cdot x_1^2 \qquad c > 0\\
\\
C^{II}(x_2) &= d\cdot x_2^2 \qquad d > 0
\end{align*}
Ermitteln Sie die Produktionsmengen $x_1$, $x_2$.