\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
[Inhomogenes lineares Gleichungssystem]

Ein lineares Gleichungssystem \begin{equation*} {\rm \bf A}\cdot \vec{x} = \vec{b} \end{equation*} mit dem Zielvektor $\vec{b} \ne \vec{0}$ heißt inhomogenes lineares Gleichungssystem.
Ist ${\rm \bf A}$ eine quadratische Matrix und $|{\rm \bf A}| \ne 0$, so gibt es eine eindeutige Lösung mit \begin{equation*} \vec{x} = {\rm \bf A^{-1}} \vec{b}. \end{equation*}
[Cramersche Regel] Sei ${\rm \bf A}$ eine quadratische Matrix mit $|{\rm \bf A}| \ne 0$. Die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems \begin{equation*} {\rm \bf A} \cdot \vec{x} = \vec{b} \end{equation*} ist gegeben durch: \begin{equation*} %\label{XYZ} x_1 = {D_1\over |{\rm \bf A}|}, \ x_2 = {D_2\over |{\rm \bf A}|} , \ \dots \ x_n = {D_n\over |{\rm \bf A}|} \end{equation*} Hier bezeichnet $D_j$ diejenige Determinante, die dadurch entsteht, dass in der ursprünglichen Determinante $|{\rm \bf A}|$ die Spalte $j$ durch den Zielvektor $\vec{b}$ ersetzt wird ( $\forall \ j=1,...,n$) . Vgl. \cite[S. 269f]{Ohse:1995}

Beispiel


Wir lösen das folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen Regel: \begin{eqnarray*} 3x_1 + 2x_2 &= &7\\ 1x_1 + 4x_2 &= &9. \end{eqnarray*} Als Lösung für $x_1$ und $x_2$ erhalten wir: \begin{align*} x_1 = \displaystyle{\begin{vmatrix}7 &2\cr 9 &4\end{vmatrix} \above 1.5pt \displaystyle{\begin{vmatrix}3 &2\cr 1 &4\end{vmatrix}}} = \frac{10}{10} = 1 && x_2 =\displaystyle{\begin{vmatrix}3 &7\cr 1 &9\end{vmatrix} \above 1.5pt \displaystyle{\begin{vmatrix}3 &2\cr 1 &4\end{vmatrix}}} = \frac{20}{10} = 2. \end{align*}

Aufgabe

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel: \begin{eqnarray*} 2x_1 + 1x_3 &= & 7\\ - 2x_2 - 3x_3 &= &-7\\ 2x_1 + 1x_2 &= & 8. \end{eqnarray*}

Lösung

Zuerst wird die Determinante $|\mathbf{A}|$ bestimmt, dann werden $x_1$, $x_2$ und $x_3$ berechnet: \begin{eqnarray*}|\mathbf{A}| &= &\begin{vmatrix}2 &0 &1\cr 0 &-2 &-3\cr 2 &1 &0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 &0 &1\cr 0 &-2 &-3\cr 0 &1 &-1\end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}-2 &-3\cr 1 &-1\end{vmatrix} = 10.\\ x_1 &= & \frac{\begin{vmatrix}7 &0 &1\cr -7 &-2 &-3\cr 8 &1 &0\end{vmatrix} }{ \displaystyle{10}} = \frac{\begin{vmatrix}7 &0 &1\cr 14 &-2 &0\cr 8 &1 &0 \end{vmatrix} }{ \displaystyle{10}} = \frac{1\begin{vmatrix}14 &-2\cr 8 &1\end{vmatrix} }{ \displaystyle{10}} = 3\\ x_2 & = &\frac{\begin{vmatrix}2 &7 &1\cr 0 &-7 &-3\cr 2 &8 &0\end{vmatrix} }{ \displaystyle{10}} = 2 \\ x_3 &= &\frac{\begin{vmatrix}2 &0 &7\cr 0 &-2 &-7\cr 2 &1 &8\end{vmatrix} }{ \displaystyle{10} }= 1. \end{eqnarray*}