\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
[Inhomogenes lineares Gleichungssystem]
Ein lineares Gleichungssystem
\begin{equation*}
{\rm \bf A}\cdot \vec{x} = \vec{b}
\end{equation*}
mit dem Zielvektor $\vec{b} \ne \vec{0}$ heißt inhomogenes
lineares Gleichungssystem.
Ist ${\rm \bf A}$ eine quadratische Matrix und $|{\rm \bf A}| \ne
0$, so gibt es eine eindeutige Lösung mit
\begin{equation*}
\vec{x} = {\rm \bf A^{-1}} \vec{b}.
\end{equation*}
[Cramersche Regel]
Sei ${\rm \bf A}$ eine quadratische
Matrix mit $|{\rm \bf A}| \ne 0$.
Die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems
\begin{equation*}
{\rm \bf A} \cdot \vec{x} = \vec{b}
\end{equation*}
ist gegeben durch:
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
x_1 = {D_1\over |{\rm \bf A}|}, \ x_2 = {D_2\over |{\rm \bf A}|} , \ \dots \ x_n =
{D_n\over |{\rm \bf A}|}
\end{equation*}
Hier bezeichnet $D_j$ diejenige Determinante, die dadurch
entsteht, dass in der ursprünglichen Determinante $|{\rm \bf A}|$
die Spalte $j$ durch den Zielvektor $\vec{b}$ ersetzt wird (
$\forall \ j=1,...,n$) .
Vgl. \cite[S. 269f]{Ohse:1995}
Beispiel
Wir lösen das folgende Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramerschen
Regel:
\begin{eqnarray*}
3x_1 + 2x_2 &= &7\\
1x_1 + 4x_2 &= &9.
\end{eqnarray*}
Als Lösung für $x_1$ und $x_2$ erhalten wir:
\begin{align*}
x_1 = \displaystyle{\begin{vmatrix}7 &2\cr 9 &4\end{vmatrix}
\above 1.5pt \displaystyle{\begin{vmatrix}3 &2\cr
1 &4\end{vmatrix}}} = \frac{10}{10} = 1 && x_2
=\displaystyle{\begin{vmatrix}3 &7\cr 1 &9\end{vmatrix} \above
1.5pt \displaystyle{\begin{vmatrix}3 &2\cr 1 &4\end{vmatrix}}} =
\frac{20}{10} = 2.
\end{align*}
Aufgabe
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel:
\begin{eqnarray*}
2x_1 + 1x_3 &= & 7\\
- 2x_2 - 3x_3 &= &-7\\
2x_1 + 1x_2 &= & 8.
\end{eqnarray*}
Lösung
Zuerst wird die Determinante $|\mathbf{A}|$ bestimmt, dann werden $x_1$, $x_2$ und $x_3$ berechnet:
\begin{eqnarray*}|\mathbf{A}| &= &\begin{vmatrix}2 &0 &1\cr 0 &-2
&-3\cr 2 &1 &0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2 &0 &1\cr 0 &-2
&-3\cr 0 &1 &-1\end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}-2 &-3\cr 1
&-1\end{vmatrix} = 10.\\
x_1 &= &
\frac{\begin{vmatrix}7 &0 &1\cr -7 &-2 &-3\cr 8 &1
&0\end{vmatrix}
}{
\displaystyle{10}}
=
\frac{\begin{vmatrix}7 &0
&1\cr 14 &-2 &0\cr 8 &1 &0
\end{vmatrix}
}{
\displaystyle{10}}
=
\frac{1\begin{vmatrix}14 &-2\cr 8 &1\end{vmatrix}
}{
\displaystyle{10}}
= 3\\
x_2 &
=
&\frac{\begin{vmatrix}2 &7 &1\cr 0 &-7 &-3\cr 2 &8
&0\end{vmatrix}
}{
\displaystyle{10}}
= 2 \\
x_3 &= &\frac{\begin{vmatrix}2 &0 &7\cr 0 &-2 &-7\cr 2 &1
&8\end{vmatrix}
}{
\displaystyle{10} }= 1.
\end{eqnarray*}