Aufgabe_Kuhn-Tucker-Vorbereitung
Gegeben sei die Nutzenfunktion $$U(x_1,x_2) = (x_1+a_1) \cdot (x_2+a_2)$$ Das Einkommen sei $E=10$ und die Marktpreise $p_1 = 4$, $p_2 = 1$. Außerdem darf das Individuum ein bestimmtes Cholesterinniveau von $K=10$ nicht überschreiten. Gut 1 enthalte $k_1=1$ Einheit Cholesterin und Gut 2 $k_2=4$ Einheiten Cholesterin je Gütereinheit.
  1. Bestimmen Sie grafisch ein Haushaltsoptimum für
    1. $a_1=0$ $a_2=0$
    2. $a_1=-2$ $a_2=0$
    3. $a_1=0$ $a_2=-2$
    4. $a_1=11$ $a_2=0$
    5. $a_1=0$ $a_2=11$
  2. Berechnen Sie jeweils das Haushaltsoptimum. Gehen Sie dabei von der grafischen Lösung aus.

a. In der nebenstehenden Abbildung sind die einzelnen Lösungen für die unterschiedlichen Parameter dargestellt.
b. Die Aufgabe ist nicht durch standardmäßige Anwendung des Lagrangeverfahrens zu lösen, da zum einen Nichtnegativitätsbedingungen und zum anderen zwei Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen zu berücksichtigen sind: \begin{eqnarray*} p_1x_1 + p_2x_2 &\leq& E\\ k_1x_1 + k_2x_2 &\leq& K \end{eqnarray*}
Wenn man die grafische Darstellung mit einem Lagrangeverfahren kombiniert, kann man folgendermaßen mit Hilfe einer Fallunterscheidung Lösungen bestimmen:
  1. $a_1=0$ $a_2=0$ Der Schnittpunkt der beiden Begrenzungsgeraden bestimmt das Optimum. Zur Bestimmung des Schnittpunktes wird das Gleichungssystem $$E=p_1x_1+p_2x_2$$ $$K=k_1x_1+k_2x_2$$ mit Hilfe der Cramerschen Regel (vgl. Satz CramerscheRegel) wie folgt gelöst: \begin{alignat*}{5} x_1 \ &= \ {\begin{vmatrix}E &p_{2}\cr K &k_{2}\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}p_{1} &p_{2}\cr k_{1} &k_{2}\end{vmatrix}} \ &= \ {\begin{vmatrix}10 &1 \cr 10 & 4\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}4 &1 \cr 1 &4\end{vmatrix}} \ &= \ {40-10 \over 16 -1} \ &=\ 2\\ \\ x_2 \ &= \ {\begin{vmatrix}p_{1}& E\cr k_{1}& K\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}p_{1} &p_{2}\cr k_{1} &k_{2}\end{vmatrix}} \ &= \ {\begin{vmatrix}4 & 10\cr 1& 10\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}4 &1 \cr 1 &4\end{vmatrix}} \ &= \ {40-10 \over 16 -1}\ &= \ 2 \end{alignat*} Das Optimum ist also gegeben durch $x_1=2$, $x_1=2$. Die Indifferenzkurve ist weder tangential zur Budgetgerade, noch zur 'Cholesteringeraden'.
  2. $a_1=-2$ $a_2=0$ Die Budgetbedingung greift, die Cholesterinbedingung greift nicht. Das Haushaltsoptimum kann bestimmt werden, indem man nur die Budgetnebenbedingung als Gleichung in einem Lagrangeverfahren benutzt. Dann ergibt sich die Lösung entsprechend zu Aufgabe \ref{Aufgabe_CobbDouglas_Verschoben} aus $$x_1={E-p_1a_1 + p_2a_2\over 2p_1} = {10- 4\cdot (-2) +1\cdot 0\over 2 \cdot 4}=2,25$$ $$x_2 = {E+ p_1a_1-p_2a_2 \over 2p_2}= {10+ 4\cdot (-2) -1\cdot 0\over 2 \cdot 1}=1$$ Im Optimum ist die Indifferenzkurve tangential zur Budgetgeraden. Es ist $$U= (x_1+a_1)(x_2+a_2) = (2.25-2)\cdot (1-0)=0,25$$
  3. $a_1=0$ $a_2=-2$ Die Budgetbedingung greift nicht, die Cholesterinbedingung greift. Das Haushaltsoptimum kann bestimmt werden, indem man nur die Cholesterinnebenbedingung als Gleichung in einem Lagrangeverfahren benutzt. Dann ergibt sich die Lösung entsprechend zu Aufgabe Verschobene Cobb-Douglas Funktion aus $$x_1={K-k_1a_1 + k_2a_2\over 2k_1} = {10- 1\cdot 0 +4\cdot (-2)\over 2 \cdot 1}=1$$ $$x_2 = {K+ k_1a_1-k_2a_2 \over 2k_2}= {10+ 1\cdot 0 -4\cdot (-2)\over 2 \cdot 4}=2.25$$ Im Optimum ist die Indifferenzkurve tangential zur 'Cholesteringeraden'. Es ist $$U= (x_1+a_1)(x_2+a_2) = (1+0)\cdot (2,25-2)=0,25$$
  4. $a_1=11$ $a_2=0$ Die Budgetbedingung greift nicht, die Cholesterinbedingung greift. Das Haushaltsoptimum könnte bestimmt werden, indem man nur die Cholesterinnebenbedingung als Gleichung in einem Lagrangeverfahren benutzt. Dann ergibt sich die Lösung entsprechend zu Aufgabe Verschobene Cobb-Douglas Funktion aus $$x_1={K-k_1a_1 + k_2a_2\over 2k_1} = {10- 1\cdot 11 +4\cdot 0\over 2 \cdot 1}=-0,5$$ $$x_2 = {K+ k_1a_1-k_2a_2 \over 2k_2}= {10+ 1\cdot 11 -4\cdot 0\over 2 \cdot 4}= 2,625$$ Es ist $$U= (x_1+a_1)(x_2+a_2) = (-0,5+11)\cdot (2,625+0)=10,5\cdot 2,625=27.5625$$ Diese Lösung ist unzulässig, es ergibt sich eine Randlösung dort wo die 'Cholesteringerade' die $x_2$-Achse schneidet, also bei $x_2=2,5$ und $x_1=0$.
  5. $a_1=0$ $a_2=11$ Die Budgetbedingung greift, die Cholesterinbedingung greift nicht. Das Haushaltsoptimum könnte bestimmt werden, indem man nur die Budgetnebenbedingung als Gleichung in einem Lagrangeverfahren benutzt. Dann ergibt sich die Lösung entsprechend zu Aufgabe Verschobene Cobb-Douglas Funktion aus $$x_1={E-p_1a_1 + p_2a_2\over 2p_1} = {10- 4\cdot 0 +1\cdot 11\over 2 \cdot 4}=2,625$$ $$x_2 = {E+ p_1a_1-p_2a_2 \over 2p_2}= {10+ 4\cdot 0 -1\cdot 11\over 2 \cdot 1}=-0,5$$ Diese Lösung ist unzulässig, es ergibt sich eine Randlösung dort, wo die Budgetgerade die $x_1$-Achse schneidet, also bei $x_1=2,5$ und $x_2=0$.
Wie diese Aufgabe und die beiden vorhergehenden Aufgaben gezeigt haben, muss das Lagrangeverfahren modifiziert werden, wenn Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen und Nichtnegativitätsbedingungen berücksichtigt werden sollen.

Dabei wird es, wie in dieser Aufgabe deutlich wurde, zu Fallunterscheidungen kommen. Der folgende Abschnitt soll diese Erweiterung des Lagrangeverfahrens durch die so genannten Kuhn-Tucker-Bedingungen darstellen.