Das Newton-Verfahren ist eine Methode zur iterativen Bestimmung von Nullstellen einer Funktion \(f(x)\). Dieses Verfahren bestimmt zu einem vorgegebenen Ausgangspunkt \((x_0, f(x_0))\) auf der Funktion eine Tangente und ermittelt den Schnittpunkt der Tangenten mit der Achse. Der Funktionswert dieses Schnittpunktes dient als neuer Ausgangspunkt. In aller Regel konvergiert diese Methode zu einer Nullstelle.


\begin{equation} x_{n+1}= x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{equation}
  1. Klicken Sie einmal auf die Schaltfläche + und erläutern Sie die Entwicklung!
  2. Klicken wiederholt Sie auf die Schaltfläche, bis die Nullstelle bestimmt ist.
  3. Verschieben Sie mit der Maus den roten Anfangspunkt und berechnen Sie eine weitere Nullstelle.
  4. Wählen Sie die Funktion Polynom Grad 5 und bestimmen einige der Nullstellen. Damit wird exemplarisch die Behauptung der Seite Cardano für Polynome 4.Grads belegt, dass auch für Polynome mit einem Grad größer vier die Nullstellen iterativ bestimmt werden können.
  5. Wählen Sie die Funktion Sinus und bestimmen Sie eine Nullstelle.
  6. Suchen Sie sich Startpunkte auf der Sinusfunktion so, dass das Verfahren keine Nullstelle bestimmt, weil
    1. die Anfangstangente keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat,
    2. das Verfahren einen Zyklus erreicht.
  7. Wählen Sie die Funktion Logarithmus und bestimmen Sie vom Ausgangspunkt \(x_0=3.0\) ausgehend eine Nullstelle. Warum funktioniert das Verfahren nicht? Wie können Sie eine Nullstelle mit dem Verfahren bestimmen?
     Polynom Grad 4   Polynom Grad 5   Exponential   Logarithmus   Sinus  

Newton-Methode