Satz
Die Kostenfunktion einer homogenen Produktionsfunktion $y = f(\vec{x})$ mit
dem Homogenitätsgrad $r$ ist gegeben durch
$$C(y) = C^* \cdot y^{{1\over r}}$$
wobei $C^* := C(1)$ die Kosten einer Einheit darstellen.
Beweis:
Ist $\vec{x}$ ein Kostenminimum, also \
$\displaystyle{{\partial f(\vec{x})/\partial x_i\over \partial
f(\vec{x})/\partial x_j} \ = \ {w_i\over w_j}}$ (mit $w_i$ bzw. $w_j$ als Preis des Faktors $i$ bzw. $j$), dann ist
$\lambda\vec{x}$ auch Kostenminimum, da gemäß Satz
\ref{satz:GrenzrateSubstHomogenePF}:
\begin{equation*}{\partial f(\lambda\vec{x})/\partial(\lambda
x_i)\over \partial f(\lambda \vec{x})/\partial (\lambda x_j)} \
= \ {\partial f(\vec{x})/\partial x_i\over \partial
f(\vec{x})/\partial x_j} \ = \ {w_i\over w_j}
\end{equation*}
a. Es sei $\vec{x}$ das kostenminimale Bündel mit dem
Output $y = 1$:
$$1=f(\vec{x})$$
Die Kosten dieses Bündels sind
$$\vec{w} \cdot \vec{x} \buildrel \rm def\over = C^*$$
b. Mit dem (wegen 1. kostenminalem) Bündel $y^{1\over
r}\vec{x}$ ist bei einer Produktionsfunktion $y=f(x)$ mit
Homogenitätsgrad $r$ der Output
$$(y^{1\over r})^r \cdot 1 = y$$
produzierbar. Dieses Bündel erfordert die Kosten
$$w \cdot (y^{1\over r}\vec{x}) = y^{1\over r}(\vec{w}\vec{x}) =
y^{1\over r} C^*$$
Damit ist der Beweis geführt.