Grenzproduktivitäten und technische Substitutionsrate

Die Grenzprodukte ${\partial f\over\partial x_1}$ und ${\partial f\over\partial x_2}$ geben an, um wie viel sich der Output ändert, wenn sich der Einsatz des Faktors 1 bzw. 2 um eine marginale Einheit erhöht. Ausgehend aus \begin{equation} y = x_1^{ra_1} \cdot x_2^{ra_2}\end{equation} die Grenzproduktivitäten für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind: \begin{equation}{\partial f\over\partial x_1}=ra_1x_1^{ra_1-1}\cdot x_2^{ra_2}\end{equation} \begin{equation}{\partial f\over\partial x_2}=ra_2x_1^{ra_1}\cdot x_2^{ra_2-1}\end{equation} Die technische Substitutionsrate ist: \begin{equation}{dx_2 \over dx_1} = -{\partial f/\partial x_1 \over \partial f/\partial x_2} =-{ra_1x_1^{ra_1-1}\cdot x_2^{ra_2} \over ra_2x_1^{ra_1}\cdot x_2^{ra_2-1} } =- {a_1x_2\over a_2x_1}\end{equation}

 

 
Untersuchen Sie die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
  • Lesen Sie den Wert von $a_1$ aus dem Schieber des entsprechenden Schiebereglers aus und analysieren Sie dazu den Verlauf der dargestellten Isoquanten und dabei insbesondere die Grenzrate der Substitution (z.B. an der 45° Linie).
  • Variieren Sie mit dem Schieberegler den Wert von $a_1$ und analysieren Sie wiederum den dargestellten Verlauf der Indifferenzkurven.
  • Interpretieren Sie die Ergebnisse und dabei insbesondere den Zusammenhang von $a_1$, $a_2$ und der Steigung der Isoquanten.