Es gilt
\begin{equation}\label{CES_63}y = \left(a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}\end{equation}
Da die Inputs nicht negativ sind, gilt
\begin{equation}\label{CES_64}a_1x_1^{\rho} \le a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho} \end{equation}
\begin{equation}
\label{CES_64a}
a_1^\frac{1}{\rho}x_1\le \left(a_1x_1^{\rho}+a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}(+)
\end{equation}
1. Fall
Wir betrachten Punkte oberhalb (und auf) der Winkelhalbierenden, also
\begin{equation}\label{CES_65}x_1 \le x_2\end{equation}
also für $\rho < 0$
\begin{equation}
\label{CES_66}
a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho} \le a_1x_1^{\rho} + a_1x_1^{\rho}= 2a_1x_1^{\rho}
\end{equation} somit
\begin{equation}
\label{CES_67}
\left( a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}} \le
2^{\frac{1}{\rho}} a_1^{\frac{1}{\rho}} x_1 (++)
\end{equation}
(+) und (++) können zusammengefasst werden:
Für alle $\rho < 0$ gilt
\begin{equation}
\label{CES_68}
a_1^\frac{1}{\rho}x_1 \le \left( a_1x_1^{\rho} +
a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}} \le 2^{\frac{1}{\rho}}
a_1^{\frac{1}{\rho}} x_1
\end{equation}
Da mit $\rho \rightarrow -
\infty$ folgt $2^{\frac{1}{\rho}} \rightarrow 1$ und
$a_1^\frac{1}{\rho} \rightarrow 1$ ergibt sich für $x_1 < x_2$
\begin{equation}
\label{CES_69}
x_1 = \lim\limits_{\rho \rightarrow - \infty}\left(a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}
\end{equation}
2. Fall
Ebenso für $x_2 < x_1$ unterhalb der Winkelhalbierenden
\begin{equation}\label{CES_70}x_2= \lim\limits_{\rho \rightarrow - \infty} \left(
a_1x_1^{\rho} +
a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}\end{equation}
Zusammenfassung beider Fälle liefert
\begin{equation}\label{CES_71}\lim\limits_{\rho \rightarrow - \infty} \left(a_1x_1^{\rho} +
a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}} = \min \left\{ x_1,
x_2\right\}\end{equation}