Homogenitätsgrad

\begin{equation}\label{CES_22}y = f(x_1, x_2)\end{equation} Wir gehen von der Definition der Homogenität aus und berechnen also $f(\lambda \vec{x})$ \begin{equation}\label{CES_23}f(\lambda \vec{x}) = f(\lambda x_1, \lambda x_2) = \left(a_1(\lambda x_1)^{\rho} + a_2(\lambda x_2)^{\rho}\right)^{{r\over \rho}}\end{equation} \begin{equation}\label{CES_24}= \left( \lambda^{\rho}(a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho})\right)^{{r\over \rho}}\end{equation} \begin{equation}\label{CES_25}= \lambda^r f(x_1, x_2)\end{equation} Die CES-Produktionsfunktion ist homogen vom Grade $r$. Standardmäßig wird $r = 1$ gewählt. Die CES-Funktion hat dann den Homogenitätsgrad $1$. Im folgenden wird allerdings in der Regel davon ausgegangen, dass $r$ auch ungleich 1 sein kann.

{\bf 4. Grenzprodukte und technische Substitutionsrate} \begin{equation}\label{CES_26}{\partial y\over \partial x_i} = \underbrace{\frac{1}{\rho} \left(a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho} - 1}}_{\hbox{äußere Ableitung}} \quad \cdot \underbrace{\phantom{\frac{1}{\rho}}\rho a_ix_i^{\rho -1}\phantom{\frac{1}{\rho}}}_{\hbox{innere Ableitung}}\end{equation} Die äußere Ableitung hat bei ${\partial y\over \partial x_1}$ und ${\partial y\over \partial x_2}$ den gleichen Wert und wird sich darum bei der Bestimmung der technischen Substitutionsrate herauskürzen. \begin{equation}{d x_2\over dx_1} = - {\partial y/\partial x_1\over \partial y/\partial x_2} = - {a_1x_1^{\rho -1}\over a_2x_2^{\rho -1}}\end{equation} Auf einen beliebigen Fahrstrahl durch den Ursprung ist die Substitutionsrate konstant (homogene Funktion). Auf der 45$^{\circ}$-Achse ist die Substitutionsrate $= - \frac{a_1}{a_2}$. Ist $a_1 = a_2$, so ist die Substitutionsrate auf der 45$^{\circ}$-Achse $= - 1$.