Zwei Variablen, eine Nebenbedingung
Im Abschnitt
Quadratische Formen und Definitheit
wurden zur Bestimmung von hinreichenden Bedingungen unbeschränkter Funktionen
quadratische Formen benutzt. Bei der Bestimmung hinreichender
Bedingungen einer Lagrangefunktion ist zu beachten, dass eine
Lagrangefunktion äquivalent zu einer beschränkten Funktion ist.
Somit müssen zur Bestimmung von hinreichenden Bedingungen
quadratische Formen mit Nebenbedingungen herangezogen werden.
Betrachtet wird die so genannte geränderte Hesse-Matrix
$\overline{\rm\bf H}$ (Bordered Hessian Matrix)
(
leydold:2003
,S. 179f und
chiang:1988
, S. 381ff
$$\overline{\rm\bf H} = \begin{pmatrix}
{0} &{ \partial g\over \partial x_1} &{\partial g\over
\partial x_2}\\\\
{\partial g\over \partial x_1} &{\partial^2f\over
\partial x_1^2} &{\partial^2f\over \partial x_1\partial x_2}\\\\
{\partial g\over \partial x_2} &{\partial^2f\over
\partial x_2\partial x_1}&{\partial^2f\over \partial x_2^2}
\end{pmatrix}$$
Satz Bedingungen Zweiter Ordnung
Der stationäre Wert des Lagrangeproblems
$$L(x_1, x_2, \lambda) = f(x_1, x_2) + \lambda (v - g(x_1, x_2))$$
ist für
$\vert \overline{\rm\bf H} \vert < 0$ ein lokales Minimum
und für
$\vert \overline{\rm\bf H} \vert > 0$ ein lokales Maximum.