\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Viele Optimierungsprobleme in den Wirtschaftswissenschaften setzen
voraus, dass gewisse Einschränkungen, sogenannte
Nebenbedingungen erfüllt werden, die für die Optimierung
gelten sollen. So würde z.B. die Nutzenmaximierung einer monoton
zunehmenden Funktion
$$U(x_1,x_2) \rightarrow \max$$
ohne zusätzliche Einschränkung zu einem Haushaltsoptimum mit
unendlichen Güternachfragen führen. Somit ist eine sinnvolle
Lösung nur unter der Einschränkung einer Budgetbedingung
\footnote{Beschränkung des Konsums durch das zur Verfügung
stehende Einkommen $E$.} gegeben:
\begin{eqnarray*}
U(x_1,x_2,x_3, \dots x_n) &\rightarrow& \max\\
p_1x_1+p_2x_2 + \dots + p_nx_n &\le& E
\end{eqnarray*}
In dieser Weise sind die meisten Optimierungsprobleme in den
Wirtschaftswissenschaften wieder zu finden: Eine zu maximierende
(oder zu minimierende) Funktion wird von einer Reihe von
Nebenbedingungen beschränkt.
Im diesem Abschnitt wird davon ausgegangen, dass die
Nebenbedingungen in Form von Gleichungen gegeben sind oder in
Gleichungen überführt werden können. Im letzten Beispiel kann,
wegen der Nutzenfunktion, davon ausgegangen werden, dass das
Optimum auf der Budgetgeraden liegt, also ergibt sich das
Optimierungsproblem:
\begin{eqnarray*}
U(\vec{x}) &\rightarrow& \max\\
E-\vec{p} \cdot \vec{x}\hfill &=& 0
\end{eqnarray*}
Das hier entstandene Optimierungsproblem beinhaltet eine
Zielfunktion mit einer linearen Nebenbedingung.