| a. Durch Einführung neuer Variabler $$ \hat{x_1} := x_1 + a_1$$ $$ \hat{x}_2 := x_2 + a_2$$ und Einsetzen dieser Werte in die Funktion ergibt sich $$f(\hat{x}_1,\hat{x}_2) = \hat{x}_1\hat{x}_2$$ Bezüglich $\hat{x}_1$ und $\hat{x}_2$ ist die gegebene Funktion also eine übliche Cobb-Douglas-Funktion. Die Niveaulinien entsprechen also im $\hat{x}_1$-$\hat{x}_1$-Koordinatensystem den Niveaulinien der Cobb-Douglas-Funktion. Wegen der Definition von $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ entsprechen die Niveaulinien von $$f(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = (x_1 + a_1)(x_2 + a_2)$$ im $x_1$-$x_2$-Koordinatensystem denen von $$f(x_1,x_2) = x_1x_2,$$jeweils um $a_1$ nach links und um $a_2$ nach unten verschoben. |
Nahe Substitute |
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Hinweis Wie aus Abbildung "Nahe Substitute" ersichtlich, kann die Funktion für positive $a_i$ dazu dienen, nahe Substitute zu modellieren. Entsprechend kann mit $a_i<0$ der Fall von nahen Komplementen dargestellt werden.(Vgl. Abb. "Nahe Komplemente") b. Die Lagrangefunktion ist \begin{eqnarray*} L(x_1, x_2, \lambda ) &= &(x_1 + a_1)(x_2 + a_2) + \lambda (E-p_1x_1 - p_2x_2)\\ {\partial L\over \partial x_1} &= &(x_2 + a_2) - \lambda p_1 \buildrel \rm !\over = 0 \Rightarrow (x_2 + a_2) = \lambda p_1\\ {\partial L\over \partial x_2} &= &(x_1 + a_1) - \lambda p_2 \buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow (x_1 + a_1) = \lambda p_2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} {x_2+a_2\over x_1+a_1} &= &{p_1\over p_2}\\ p_2x_2 + p_2 a_2 &= &p_1x_1 + p_1a_1\\ p_2x_2\hfill &= &p_1x_1 +p_1a_1 - p_2a_2 \end{eqnarray*} |
Nahe Komplemente |
| Aus der Budgetbedingung ergibt sich \begin{eqnarray*} E &= &p_1x_1 + p_1x_1 + p_1a_1 - p_2a_2\\ E - p_1a_1 + p_2a_2 &= &2p_1x_1\\ x_1\hfill &= &{E-p_1a_1 +p_2a_2\over 2p_1} \end{eqnarray*} Ebenso $$x_2 = {E-p_2a_2 + p_1a_1\over 2p_2}$$ c. In nebenstehender Abbildung sind Indifferenzkurven und die Budgetgerade eingezeichnet. Dabei wurden -wie vorgeschlagen- $a_1=10$ und $a_2=10$, $E = 10$ und $p_1 = 4, \ p_2 = 1$ gewählt. Bei $x_1 = -2,5$ und $x_2 = 20$ ergibt sich ein Tangentialpunkt. Das entspricht der rechnerischen Lösung: $$x_1 = {E - p_1a_1 + p_2a_2\over 2p_1}= {10-4\cdot 10 + 1\cdot 10\over 2\cdot 4}=-2,5$$ $$x_2 = {E - p_2a_2 + p_1a_1\over 2p_2}= {10-1\cdot 10 +4\cdot 10 \over 2\cdot 1}=20$$ |
Unzulässiges Optimum |