Als Skalar wird ein Element aus dem Zahlenkörper
bezeichnet, der den Matrizen zugrunde liegt. In Definition
\ref{Def:1} wurden Matrizen als ein rechteckiges Zahlenschema mit
Zahlen aus $\mathbb{R}$ definiert, somit ist der Skalar ebenfalls
ein Element aus $\mathbb{R}$.
Definition [Skalarmiultiplikation]
Für eine Zahl $\alpha\in \mathbb{R}$ und einer $m\times n$ Matrix
$\rm\bf A$ mit den Elementen $a_{ij}$ wird als Produkt
$
\mathbf{C} =\alpha\cdot \mathbf{A}\quad
$
definiert:
\begin{equation*}
\mathbf{C} =
\alpha \cdot \begin{pmatrix}
a_{11} &\dots &a_{1n}\\
\vdots &&\vdots\\
a_{m1} &\dots &a_{mn}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha a_{11} &\dots & \alpha a_{1n}\\
\vdots &&\vdots\\
\alpha a_{m1} &\dots & \alpha a_{mn}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
c_{11} &\dots & c_{1n}\\
\vdots &&\vdots\\
c_{m1} &\dots & c_{mn}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Das allgemeine Element $c_{ij}$ der Ergebnismatrix $\rm\bf C$
ergibt sich dadurch, dass jedes Element der ursprünglichen Matrix
mit dem Skalar multipliziert wird. Somit kann das Produkt auch
kurz durch Benutzung allgemeiner Elemente definiert werden:
\begin{equation}
%\label{XYZ}
\alpha\cdot {\rm\bf A} = \alpha\cdot\left(a_{ij}\right) =
\left(\alpha\cdot a_{ij}\right).
\end{equation}
Beispiel:
Gegeben sei eine Matrix $\mathbf{A} ~:= \begin{pmatrix}2 &3\cr 4
&5\end{pmatrix}$ und ein Skalar $\alpha = 3$. Für das Produkt
$\alpha\cdot \mathbf{A}$ erhalten wir die folgende Ergebnismatrix:
\begin{equation*}
\alpha\cdot \mathbf{A}= 3 \cdot
\begin{pmatrix}
2 &3\\
4 &5
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3\cdot 2 &3\cdot 3\\
3\cdot 4 &3\cdot 5
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
6 &9\\
12 &15
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Multiplizieren Sie die Matrix mit dem Skalar!
Regeln für das Produkt von Skalar und Matrix
Seien zwei $m\times n$ Matrizen $\textbf{A, B}$ sowie zwei reelle
Zahlen $\alpha$ und $\beta$ gegeben, dann gilt für das Produkt:
- $\alpha \cdot (\textbf{A} + \textbf{B})=\alpha \textbf{A}+\alpha \textbf{B}$
- $(\alpha + \beta) \cdot \textbf{A} = \alpha \textbf{A} + \beta
\textbf{A}$.