Im Folgenden werden weitere Definitionen im Zusammenhang mit
Matrizen kurz eingeführt. Für die praktische Anwendung sind hier
einige Spezialfälle einer Matrix auf zu zählen.
Die Einheitsmatrix
In der Matrizenrechnung werden einige Spezialfälle von Matrizen
definiert. So sind beispielsweise Vektoren, die Nullmatrix sowie
die Diagonalmatrix Spezialfälle einer Matrix. Eine Diagonalmatrix
ist eine quadratische Matrix und zeichnet sich dadurch aus, dass
alle Elemente, die sich nicht auf der Hauptdiagonalen befinden,
Null sind. Sind zusätzlich alle Elemente auf der Hauptdiagonalen
1, so wird diese Matrix als Einheitsmatrix bezeichnet.
Definition: [Einheitsmatrix]
Die Einheitsmatrix ${\rm\bf I}$ ist eine quadratische Matrix,
deren sämtliche Elemente auf der Hauptdiagonalen 1 und deren
restliche Elemente alle 0 sind.
Beispiel
Als Beispiel einer Einheitsmatrix sei die (3,3)-Einheitsmatrix
gegeben:
\begin{equation*}
\mathbf{I} =
\begin{pmatrix}
1 &0 &0\\
0 &1 &0\\
0 &0 &1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Die Inverse Matrix
In Kapitel 1 wurde für die Multiplikation von reellen Zahlen ein
inverses Element definiert. Vergleiche hierzu Definition \ref
{???}. In $\mathbb{R}$ gibt es demnach zu jedem $\alpha \neq 0$
ein inverses Element $\alpha^{-1}$.
Dieses Vorgehen kann zwar für die Matrizenrechnung übernommen
werden, allerdings kann nur für eine gegebene reguläre
quadratische Matrix $\rm\bf{A}$
%(Vgl. hierzu Definition
%\ref{reguläre Matrix})
eine inverse Matrix $\rm\bf{A^{-1}}$
gebildet werden.
Definition [Inverse Matrix]
Sei ${\rm\bf A}$ eine quadratische Matrix. Gibt es dann eine
(ebenfalls quadratische) Matrix ${\rm\bf B}$ für die gilt:
\begin{equation*}
{\rm\bf A \cdot B = B \cdot A = I},
\end{equation*}
so nennt man ${\rm\bf B}$ die inverse Matrix zu ${\rm\bf A}$ und
schreibt dafür ${\rm\bf A^{-1}}$.
Für die inverse Matrix gilt:
\begin{equation*}
{\rm\bf A^{-1} \cdot A = I}.
\end{equation*}
Aufgabe
Geben Sie Beispiele für quadratische Matrizen ohne Inverse.
Lösung
Wir suchen z.B. eine Inverse $\mathbf{X^{-1}}$ zur Matrix $X=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}.$
Dazu müssen wir die folgende Beziehung lösen:
$$\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$\begin{pmatrix}
1\cdot x_{11}+0\cdot x_{21} & 1\cdot x_{12}+0\cdot x_{22}\\
0\cdot x_{11}+0\cdot x_{21} & 0\cdot x_{12}+0\cdot x_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12}\\
0 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Diese Beziehung ist aber nicht zu lösen, da sich das rechte untere
Element der rechtsseitigen Matrix von dem der linksseitigen Matrix
unterscheidet.
Bemerkung: Eine inverse Matrix existiert genau dann, wenn gilt:
Der Rang einer $n\times n$ Matrix Rg$\rm\bf{A}$ gleich $n$ ist,
also der Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren und
zugleich Anzahl der unabhängigen Zeilenvektoren.
Die transponierte Matrix
Werden die Zeilen und Spalten einer bestehenden $m\times n$-Matrix
$\rm\bf{A}$ so vertauscht, dass sich eine $n\times m$-Matrix
ergibt, dann ist die neu entstandene $n\times m$-Matrix
$\rm\bf{A'}$ eine zur Ausgangsmatrix $\rm\bf{A}$ transponierte
Matrix
.
Definition [transponierte / gestürzte Matrix]
Eine transponierte Matrix (auch gestürzte Matrix genannt) entsteht
durch Vertauschen von Zeilen und Spalten einer Matrix. Zu einer
Matrix ${\rm\bf A}$ wird die transponierte bzw. gestürzte Matrix
als ${\rm\bf A^T}$ notiert. Für die Elemente der Matrix $\bf A$
gilt:
\begin{equation*}
(a_{ij})^T=(a_{ji}).
\end{equation*}
Beispiel
Transponieren einer quadratischen Matrix
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
1 &2 &7\\
8 &3 &-5\\
9 &4 &6
\end{pmatrix} \Longrightarrow \mathbf{A^T} = \begin{pmatrix}
1 &8 &9\\
2 &3 &4\\
7 &-5 &6
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Bei quadratischen Matrizen entspricht das Transponieren dem
Spiegeln der Elemente an der Hauptdiagonalen.
Beispiel
Transponieren einer nicht-quadratischen Matrix
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
1 &-2 \\
0 &3 \\
5 &7
\end{pmatrix} \Longrightarrow \mathbf{A^T} = \begin{pmatrix}
1 &0 &5\\
-2 &3 &7
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Transponieren Sie die Matrix!
Transponieren Sie die Matrix!
Die symmetrische Matrix
Quadratische Matrizen, die die Eigenschaft besitzen, dass sie
bezüglich ihrer Hauptdiagonalen symmetrisch sind, werden
symmetrische Matrizen genannt. Symmetrische Matrizen sind
dadurch charakterisiert, dass sie ihrer Transponierten Matrix
entsprechen.
Definition [Symmetrische Matrix]
Eine quadratische Matrix $\rm\bf A$
heißt symmetrisch, wenn für die Transponierte
Matrix gilt: \begin{equation*} {\rm\bf A^T = A}.
\end{equation*}
Beispiel
Die transponierte Matrix $\bf A^T$ entspricht der ursprünglichen
Matrix $\bf A$:
\begin{equation*}
\mathbf{A} = \mathbf{A^T} = \begin{pmatrix}1 &5 &7\\ 5 &2 &3\\ 7
&3 &4\cr\end{pmatrix}.
\end{equation*}