Bemerkung:

Die Multiplikation ist nicht kommutativ, das heißt es gilt nicht zwingend: \begin{equation*} {\rm\bf A \cdot B = B \cdot A}. \end{equation*}

a) Dies gilt unmittelbar für Matrizen, bei denen die Vertauschung der Faktoren zu einem nicht definierten Produkt führt. Bei Matrizen ${\rm\bf A_{(m,n)}}$ und ${\rm\bf B_{(n,k)}}$ mit $k \ne m$ existiert das Produkt ${\rm\bf A} ${\rm\bf B}, ${\rm\bf A} ${\rm\bf B} ist jedoch nicht definiert.

b) Bei nicht quadratischen Matrizen ${\rm\bf A_{(m,n)}}$ und ${\rm\bf B_{(n,m)}}$ mit $n \ne m$ ist sowohl ${\rm\bf A \cdot B}$ als auch ${\rm\bf B \cdot A}$ definiert. ${\rm\bf A \cdot B}$ ist aber eine (m,m)-Matrix, ${\rm\bf B \cdot A}$ jedoch eine (n,n)-Matrix. Damit ist notwendigerweise ${\rm\bf A \cdot B \ne B \cdot A}$.
Beispiele

Für die Matrizen ${\rm\bf A}= \begin{pmatrix} 3 &3\\ 4 &5\\ 5 &2 \end{pmatrix}$ und ${\rm\bf B}= \begin{pmatrix} 2 &1 &4\\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}$ ist sowohl ${\rm\bf A} {\rm\bf B}$ wie auch ${\rm\bf A} {\rm\bf B}$ definiert.
Das Produkt \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 &3\\ 4 &5\\ 5 &2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 &1 &4\\ 1 &1 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 &6 &15 \\ 13 & 9 &21\\ 12 &7 &22 \end{pmatrix}. \end{equation*} ist jedoch eine (3,3)-Matrix, während das Produkt \begin{equation*} \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 &1 &4\\ 1 &1 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 &3\\ 4 &5\\ 5 &2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 &19 \\ 12 & 10 \end{pmatrix}. \end{equation*} eine (2,2)-Matrix ist.

Somit ist beie nicht-quadratischen Matrizen das Produkt generell nicht kommutativ.
Jedoch ist auch die Produkt quadratischer Matrizen nicht notwendigerweise kommutativ. Das soll in der nächsten Aufgabe gezeigt werden.