Bemerkung:
Die Multiplikation ist nicht kommutativ, das heißt
es gilt nicht zwingend:
\begin{equation*}
{\rm\bf A \cdot B = B \cdot A}.
\end{equation*}
Beispiele
Für die Matrizen ${\rm\bf A}=
\begin{pmatrix}
3 &3\\
4 &5\\
5 &2
\end{pmatrix}$
und ${\rm\bf B}=
\begin{pmatrix}
2 &1 &4\\
1 &1 &1
\end{pmatrix}$
ist sowohl
${\rm\bf A} {\rm\bf B}$ wie auch
${\rm\bf A} {\rm\bf B}$
definiert.
Das Produkt
\begin{equation*}
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
3 &3\\
4 &5\\
5 &2
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
2 &1 &4\\
1 &1 &1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
9 &6 &15 \\
13 & 9 &21\\
12 &7 &22
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
ist jedoch eine (3,3)-Matrix, während
das Produkt
\begin{equation*}
\mathbf{B} \cdot \mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
2 &1 &4\\
1 &1 &1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
3 &3\\
4 &5\\
5 &2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
30 &19 \\
12 & 10
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
eine (2,2)-Matrix ist.
Somit ist beie nicht-quadratischen Matrizen das Produkt generell nicht kommutativ.
Jedoch ist auch die Produkt quadratischer Matrizen nicht notwendigerweise kommutativ. Das
soll in der nächsten Aufgabe gezeigt werden.