Indifferenzkurven Für ein konstantes $u=U(x_1,x_2)$ lösen wir die Nutzenfunktion nach $x_2$ auf: \begin{equation*} u = x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2} \end{equation*} \begin{equation*} x_2^{a_2} = \frac{u }{ x_1^{a_1}} \end{equation*} \begin{equation} x_2 = \frac{u^{1/a_2} }{ x_1^{a_1/a_2}} \end{equation} Die Indifferenzkurven haben keinen Schnittpunkt mit den Achsen, da bei $x_1=0$ und auch bei $x_2=0$ der Nutzen Null ist. Es gilt für fest vorgegebene $a_1$, $a_2$
\begin{equation} \lim_{x_1 \to 0} x_1^{a_1/a_2} = \infty\end{equation} Für eine Indifferenzkurve mit dem positiven Nutzen $u$ \begin{equation} x_2 = {u^{1/a_2} \over x_1^{a_1/a_2}} \end{equation} folgt somit \begin{equation} \lim_{x_1 \to 0} x_2 = \infty \end{equation} und \begin{equation} \lim_{x_1 \to \infty} x_2 = 0 \end{equation}

Indifferenzkurven der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Grenznutzen und Substitutionsrate

Die Grenznutzen ${\partial U\over\partial x_1}$ und ${\partial U\over\partial x_2}$ geben an, um wie viel sich der Nutzen ändert, wenn sich die Menge von Gut 1 bzw. 2 um eine marginale Einheit erhöht. Ausgehend von \begin{equation*} U(x_1,x_2) = x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2} \end{equation*} sind die Grenznutzen für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: \begin{equation} {\partial U\over\partial x_1}=a_1x_1^{a_1-1}\cdot x_2^{a_2}\end{equation} \begin{equation} {\partial U\over\partial x_2}=a_2x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2-1}\end{equation} Die Substitutionsrate ist: \begin{equation} \frac{dx_2 }{ dx_1} = -\frac{\partial U/\partial x_1}{\partial U/\partial x_2} =-\frac{a_1x_1^{a_1-1}\cdot x_2^{a_2}}{a_2x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2-1} } =- \frac{a_1x_2}{a_2x_1} \end{equation}