\begin{equation} f(x)= a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 \end{equation} Diese Funktion verläuft für $a_3>0$ stetig von $y=-\infty$ nach $y=+\infty$ und für $a_3<0$ stetig von $y=+\infty$ nach $y=-\infty$, die Funktion schneidet also in beiden Fällen die x-Achse. Somit hat das Polynom dritten Grades stets eine reelle Nullstelle $x_0$.
Somit kann das Polynom $f(x)$ in der Form $f(x)=g(x)\cdot(x-x_0)$ geschrieben werden, wobei $g(x)$ ein Polynom zweiten Grades ist. Damit ergibt sich: ein Polynom dritten Grades besitzt
  1. entweder drei reelle Nullstellen
  2. oder eine reelle und zwei konjugiert-komplexe Nullstellen.
Betrachten Sie das Polynom dritten Grades in nebenstehender Komponente.
  • Verändern Sie mit den Schiebereglern die Werte für $a_0$, $a_1$, $a_2$ und $a_3$ und beobachten Sie jeweils die Änderungen der Lage bzw. der Gestalt des Polynoms. Erläuten Sie die Änderungen.
  • Stellen Sie mit den Schiebereglern solche Verläufe für das Polynom ein, dass sich
    1. eine reelle und zwei konjugiert komplexe Nullstellen
    2. drei unterschiedliche reelle Nullstellen
    3. eine doppelte reelle und eine davon unterschiedliche reelle Nullstelle
    4. eine dreifache reelle Nullstelle
    ergeben.
<   $a_0$   >
<   $a_1$   >
<   $a_3$   >