\begin{equation}
f(x)= a_2x^2 + a_1x^1 + a_0
\end{equation}
Bestimmung der Nullstellen des Polynoms:
\begin{equation*}
f(x)= a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 =0.
\end{equation*}
Teilen der Gleichung durch $a_2$ liefert
\begin{equation*}
f(x)= x^2 + \underbrace{\frac{a_1}{a_2}}_p x^1 + \underbrace{\frac{a_0}{a_2}}_q =0\qquad (*)
\end{equation*}
Setzt man $p=\frac{a_1}{a_2}$ und $q=\frac{a_0}{a_2}$
so ergibt sich die quadratische Gleichung
\begin{equation}
\label{pqGleichung}
x^2 + p\cdot x^1 = - q.
\end{equation}
Da die Unbekannte sowohl quadratisch als $x^2$ wie auch linear als px vorhanden ist,
ist x nicht unmittelbar durch Wurzelziehen zu bestimmen. Darum addieren wir auf
beiden Seiten die sogenannte quadratische Ergänzung $(p/2)^2$ und erhalten
\begin{equation*}
x^2 + p\cdot x^1 + \left(\frac{p}2{}\right)^2 = +
\left(\frac{p}2{}\right)^2 - q.
\end{equation*}
Mit Hilfe der binomischen Formel kann die rechte Seite umgeformt werden zu:
\begin{equation*}
+ \left(\frac{p}2{}\right)^2 - q = \left(x + \frac{p}2{}\right)^2 .
\end{equation*}
Jetzt kann die Wurzel gezogen werden und es ergibt sich
\begin{equation*}
\left(x + \frac{p}2{}\right) = \pm\sqrt{ \left(\frac{p}2{}\right)^2 - q }.
\end{equation*}
Somit erhalten wir den
Satz [p-q-Formel]
Quadratische Gleichungen der Form \(x^2+px+q=0 \) können anhand folgender Formel gelöst werden:
\begin{equation} x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm
\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}.
\end{equation}
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $ 3x^{2}+60x+57=0$. Nachdem die Gleichung
durch 3 geteilt wird, bleibt: $x^{2}+20x+19=0$. Mit der p-q-Formel
erhalten wir folgende Lösung:
\begin{eqnarray*}
x_{1,2}& = &-\frac{20}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{20}{2}\right)^{2}-19}\\
x_{1,2}& = &-10 \pm \sqrt{100-19}\\
x_{1}& = &-10+ \sqrt{81}=-10+9=-1\\
x_{2}& = &-10-\sqrt{81}=-10-9=-19.
\end{eqnarray*}