Wegen der Definition des Logarithmus durch den Zusammenhang
\begin{equation*}
a^{n}=b
\qquad \qquad
n=\log_{a}b
\end{equation*}
gilt
\begin{equation*}
n=\log_{a}a^{n}
\end{equation*}
also ist der Logarithmus \(\log_a\) die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \(a^n\).
Damit ergeben sich aus den Potenzgesetzen unmittelbar entsprechende Regeln für den Logarithmus:
$$a^n\cdot a^m = a^{m+n} \Rightarrow \log_a\left({a^n\cdot a^m}\right) = \log_a a^{m+n}= m+n =\log_a a^{m}+\log_a a^{n}$$
Setzt man \(a^{m}=x\) und \(a^{n}=y\) so ergibt sich:
$$\log_a x+ \log_a y = \log_a(x\cdot y)$$
Das Rechnen mit dem Logarithmus unterliegt folgenden
Regeln:
\begin{equation}
\label{eq:sample}
\log_{a} 1= 0 \Leftrightarrow a^{0}=1
\end{equation}
\begin{equation}
\log a + \log b= \log ( a \cdot b)\qquad
a,b > 0
\end{equation}
\begin{equation}
\log a - \log b= \log \left(\frac{a}{b}\right)
\qquad a,b > 0
\end{equation}
\begin{equation}
\log (a^{n})=n \cdot \log (a)\qquad a> 0
\end{equation}
\begin{equation}
\log (\sqrt[n]{a}) =\frac {1}{n} \log (a)\qquad
\sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n}}.
\end{equation}