Eine wichtige Zahl innerhalb der irrationalen Zahlen
ist die Eulersche Zahl, welche in der Regel durch den Buchstaben
$e$ dargestellt wird. Sie gilt als eine der Naturkonstanten, durch
die viele beobachtbare Vorgänge beschrieben werden können. So kann
die Bedeutung der Eulersche Zahl am folgenden Beispiel einer
stetigen Verzinsung erklärt werden. Von stetiger Verzinsung wird
gesprochen, wenn bei Kapitalanlagen die
Zinsen in jedem Augenblick kapitalisiert und mit verzinst werden können.
- Es bestehe die Möglichkeit, heute (t=0) einen Euro für ein Jahr zu einem
Zinssatz von 100% anzulegen. Nach einem Jahr (t=1) erhält man
dann eine Rückzahlung von:
$$ K_1= K_0\cdot\left(1+\frac{100}{100}\right)=2 \cdot K_0.$$
- Wir nehmen jetzt an, dass es zulässig ist
das Geld nach einem halben Jahr mit dem Zins (in halber Höhe)
ausgezahlt zu bekommen und dann nochmal für ein halbes Jahr
anzulegen.
Dann ergibt sich nach zwei Halbjahresperioden
$$ K_1=
K_0\cdot\left(1+\frac{50}{100}\right)\cdot\left(1+\frac{50}{100}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2,25
\cdot K_0.$$ und somit mehr, als bei einer ununterbrochenen Anlage von einem
Jahr. Dieses Ergebnis ist nicht überraschend, da man im zweiten Halbjahr Zins auf den Zinsertrag des ersten Halbjahres bekommen hat.
- Ist es sogar möglich, nach 4 Monaten sein Geld -- mit 33,33 % für das Dritteljahr -- ausgezahlt
zu bekommen und es dann zweimal wieder in gleicher Weise anzulegen,
dann ergibt sich nach drei Vier-Monats-Perioden
$$ K_1=
K_0\cdot\left(1+\frac{33,33}{100}\right)\cdot\left(1+\frac{33,33}{100}\right)\cdot\left(1+\frac{33,33}{100}\right)=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=2,370370370
\cdot K_0.$$ und somit mehr, als bei längeren Anlageperioden, wiederum nicht
überraschend, da man Zinseszins und sogar Zins auf den Zinseszins bekommt.
- Wir verallgemeinern diese diese Überlegung und bestimmen was sich ergibt, wenn man, das Geld alternativ
1 Monat (1/12 Jahr), 1 Tag (1/365 Jahr), 1 Stunde anlegt und jeweils zu
einem Jahr verlängert?