Im folgenden betrachten wir weiterhin eine reine Tauschwirtschaft
und unterstellen (im Gegensatz zu Veranschaulichung durch die
Edgeworthbox) sehr viele Haushalte. Wir unterstellen konkret, dass
jedes Wirtschaftssubjekt Preise als gegeben hinnimmt.
Die Preise seien
$$\vec{p} = \left( p_1, \dots , p_k \right)$$
Ein Haushalt mit der Ausstattung $\vec{w}_i$ hat dann das Einkommen
$$\vec{p} \cdot \vec{w}_i = I_i$$
Der Haushalt maximiere, ausgehend von diesem Einkommen, seine
Nutzenfunktion $u_i$.
$$\begin{matrix}
&Zielfunktion \ \ \ & \max \ u_i\left(\vec{x}_i\right) \cr
&Nebenfunktion \ \ \ & \ \vec{p} \cdot \vec{x}_i = I_i = \vec{p}
\cdot \vec{w}_i\cr
\end{matrix}$$
Die Lösung dieses Problems ist die Nachfragefunktion
$\vec{x}_i = \vec{x}_i (\vec{p}, \vec{p} \cdot \vec{w}_i)$.
Diese Nachfragefunktion ist homogen vom Grade Null in den Preisen.
Die Nachfragefunktion ist unter den üblichen Annahmen stetig.
Wir definieren die \underbar{Übernachfragefunktion}
(Nachfrageüberhangfunktion) oder Nettonachfragefunktion
$$\vec{z} (\vec{p}) = \sum_1^n \vec{x}_i (\vec{p}) - \sum_1^n
\vec{w}_i$$
bzw.
$$\begin{pmatrix}
&z_1(\vec{p})\cr
&\vdots\cr &z_k (\vec{p})\cr
\end{pmatrix}
=
{\begin{pmatrix}
\sum\limits_1^n x_{i1} (\vec{p}) -
\sum\limits_1^n w_{i1}\cr \vdots\cr \sum\limits_1^n x_{ik}
(\vec{p}) - \sum\limits_1^n w_{ik}\cr
\end{pmatrix}}$$
mit k Gütern und n Individuen.
Da die Nachfragefunktionen stetig sind, ist die
Übernachfragefunktion stetig.
\normalsize Für ein bestimmtes $\vec{p}$ ist es möglich, dass die
Optimierung aller Haushalte nicht zu einer zulässigen Allokation
führt.