Eine stetige Abbildung $\vec{f}:M\rightarrow M$ einer abgeschlossenen, beschränkten und konvexen Menge $M\subset \mathbb{R}^n$ in sich selbst hat einen Fixpunkt, d. h. es gibt ein $\vec{x} \in M\subset \mathbb{R}^n$ mit $\vec{f}(\vec{x}) = \vec{x}$. Dazu beweist man i. A. folgenden Spezialfall. Eine stetige Abbildung des $n-1$ dimensionalen Einheitssimplex in sich $$f:S^{n-1} \rightarrow S^{n-1}$$ hat einen Fixpunkt, d. h. es gibt $$\vec{x} \in S^{n-1} \ \ \hbox{mit} \ \ \vec{f}(\vec{x}) = \vec{x}$$

Ein illustrierendes Beispiel ist eine Landkarte, die auf dem dargestellten Gebiet auf die Erde gelegt wird. Damit ist diese Landkarte eine stetige Abbildung des dargestellten Gebiets in sich. Wird bei der Frage'Wo sind wir?' auf einen Punkt der Landkarte gezeigt, so handelt es sich dabei um einen Fixpunkt.

Wir werden den Brouwerschen Fixpunkt-Satz hier nicht beweisen, sondern nur für den einfachsten Sonderfall herleiten, nämlich den für $S^1 \subset R^2$.

Behauptung:

Es gibt $$x \in [0,1] \ mit \ f(x) = x$$ oder $$\underbrace{f(x) - x}_{\hbox{g(x)}} = 0$$
Wir müssen also zeigen: Es gibt $x$ mit $g(x) =$0 wobei

$g(x) \buildrel \rm def \over = f(x) - x$

Nun ist

$g(0) = f(0) - 0 \geq 0$      da $0\le f(0)\le 1$
$g(1) = f(1) - 1 \le 0$
Dann gibt es nach dem Zwischenwertsatz von Weierstraß ein $x$ zwischen 0 und 1 mit $g(x) = 0$
$ g(x) = 0$
$f(x) - x = 0$
$f(x) = x$
Dies ist der Zwischenwertsatz von Weierstraß.