Wir gehen also davon aus, dass die Produktion durch eine
Transformationskurve beschrieben ist. Bei zwei Konsumenten führt
das zu dem System
$$ U_1(\vec{x}_1) = U_1(x_{11}, x_{12})$$
$$U_2(\vec{x}_2) = U_2(x_{21},x_{22})$$
$$F(y_1,y_2) = 0$$
$$(\hbox{z. B.} \ (y_1)^2 + (y_2)^2 - 25 = 0)$$
Damit ergibt sich als Optimierungsproblem:
$$U_1 \rightarrow \max$$
$$U_2(\vec{x}_2) = \overline{U}_2 = \hbox{const}$$
$$F(y_1,y_2) = 0$$
mit
$$y_1 = x_{11} + x_{21}$$
$$y_2 = x_{12} + x_{22}$$
Die folgende Aufgaben zeigen, dass mit Hilfe eines Lagrangeansatzes
vergleichsweise einfach die üblichen Optimierungsbedingungen der
Mikrotheorie für ein marktwirtschaftliches System hergeleitet
werden können. Dabei werden in der Aufgabe zur Vereinfachung nur 2
Individuen, 2 Güter und 2 Faktoren betrachtet. In einer weiteren
Aufgabe wird dann gezeigt, dass diese Beschränkung auf 2
Individuen, 2 Güter, 2 Faktoren ohne Probleme fallen gelassen
werden kann.
Diese Aufgaben sind auch deshalb interessant, weil sie noch einmal verdeutlichen, dass die Neoklassik die Ökonomie als ein Optimierungsproblem ansieht.
Lagrangefunktion
$$L(x_{11},x_{12},x_{21},x_{22},y_1,y_2, \lambda, \mu_1, \mu_2,
\nu)$$
$$ U_1(x_{11},x_{12})$$
$$- \ \lambda\left(\overline{U}_2 - U_2(x_{21},x_{22})\right)$$
$$- \mu_1 (x_{11} + x_{21} - y_1)$$
$$- \mu_2 (x_{12} + x_{22} - y_2)$$
$$- \nu F(y_1,y_2)$$
$$\left.\begin{matrix}
{\partial L \over \partial x_{11}} &= {\partial U_1 \over \partial
x_{11}} \ - \mu_1 = 0\cr &\cr {\partial L \over \partial x_{12}}
&= {\partial U_1 \over \partial x_{12}} \ - \mu_2 =
0\cr\end{matrix}\right\} \ \Longrightarrow {{\partial U_1 \over
\partial x_{11}} \over {\partial U_1 \over \partial x_{12}}} =
{\mu_1 \over \mu_2} \qquad (*)$$
$$\left.\begin{matrix}
{\partial L \over \partial x_{21}} &= \lambda {\partial U_2 \over
\partial x_{21}} - \mu_1 = 0\cr
&\cr
{\partial L \over \partial x_{22}} &= \lambda {\partial U_2 \over
\partial x_{22}} - \mu_2 = 0\cr\end{matrix} \right\} \ \Longrightarrow
{{\partial U_2 \over \partial x_{21}} \over {\partial U_2 \over
\partial x_{22}}}
= {\mu_1 \over \mu_2} \qquad (**)$$
$$\left.\begin{matrix}
{\partial L \over \partial y_1} &= \mu_1 - \nu {\partial F \over
\partial y_1}\cr
&\cr
{\partial L \over \partial y_2} &= \mu_2 - \nu {\partial F \over
\partial y_2}\cr\end{matrix} \qquad \right\} \ \Longrightarrow {\mu_1 \over
\mu_2} = {{\partial F \over \partial y_1} \over {\partial F \over
\partial y_2}} \qquad (***)$$
Aus dem vollständigen Differential
$$dF = {\partial F \over \partial y_1} \cdot dy_1 + {\partial F
\over \partial y_2} \cdot dy_2$$
folgt
$${dy_2 \over dy_1} = - {\partial F / \partial y_1 \over \partial
F / \partial y_2}$$
Somit stellt $- {\partial F / \partial y_1 \over \partial F /
\partial y_2}$ die Transformationsrate dar.
Wir bekommen also aus (*) (**) (***)
$$\underbrace{ \ \ - {\partial U_1 / \partial x_{11} \over
\partial U_1 / \partial x_{12}} \ \ }_
{\hbox{Substitutionsrate} \atop \hbox{Individuum 1}}
\quad = \quad
\underbrace{ - {\partial U_2 / \partial x_{21} \over \partial
U_2 / x_{22}} }_
{\hbox{Substitutionsrate} \atop \hbox{Individuum 2}}
\quad = \quad
\underbrace{ \quad - {\partial F / \partial y_1 \over \partial F
/ \partial y_2} \quad }_
{\hbox{Transformations-} \atop \hbox{rate}}
$$