Zeigen Sie: Jedes Polynom dritten Grades hat
- mindestens eine reelle Nullstelle
- zusätzlich entweder
- zwei unterschiedliche reelle Nullstellen
- eine doppelte reelle Nullstelle
- zwei konjugiert komplexe Nullstellen.\EndeAufgabe
Lösung
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$$f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0$$
Für das folgende gehen wir o.B.d.A. davon aus, dass $a_3>0$ (andernfalls müssen die Überlegungen entsprechend geändert
werden).
$$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 =-\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 =+\infty$$
Nach dem Satz von Weierstraß muss diese Funktion eine Nullstelle $x_0$ haben.
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Wir formen um $f(x)=(x-x_0)g(x)$ mit $g(x)$ quadratische Funktion.
$g(x)=b_2x^2+b_1x+b_0 = 0 $
$x^2+ px + q = 0 $ mit $p=\frac{b_1}{b_2}$ und $q=\frac{b_0}{b_2}$
Wir benutzen die p-q-Formel:
$$x_{1,2}= -\frac{p }{2}\pm\sqrt{\underbrace{\left(\frac{p }{2}\right)^2-q}_{D}}$$
- $D>0$ zwei unterschiedliche reelle Nullstellen.
- $D=0$ eine doppelte reelle Nullstelle.
- $D<0$ zwei konjugiert komplexe Nullstellen.
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In der Komponenten ist als Beispiel die Funktion $f(x) = x^3 + x^1 +q$ abgebildet.
Diese Funktion läuft vom Funktionswert $-\infty$ bis $\infty$. Als stetige Funktion
muss sie also die Achse schneiden und hat dort eine Nullstelle.
Für z.B. $q=-1$ hat die Funktion eine (reelle) Nullstelle.
Erhöhen Sie den Wert von $q$ mit dem Schieberegler, so dass die Gleichung
- drei reelle Nullstellen, und zwar eine doppelte und eine einfache,
- drei unterschiedliche relle Nullstellen
besitzt.
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