Aufgabe

  1. Formen Sie die folgenden komplexen Zahlen in algebraischer Darstellung (kartesische Koordinaten) jeweils in die trigonometrische Form (Polarkoordinaten) um.
    1. $z=1,5 + i$
    2. $z=2+i$
    3. $z=-3+i$
    4. $z=-4-i$
  2. Formen Sie die folgenden komplexen Zahlen in trigonometrischer Darstellung jeweils in die algebraische Form um.
    1. $z$ mit $r = 1.4142$ und $\phi =0.7854$
    2. $z$ mit $r = 2.2361$ und $\phi =-0.4636$

Lösung

  1. Für $z=a+ib$ ergibt sich $z= \sqrt{(a^2+b^2)}\cdot(\cos(\arctan\frac{b}{a})+i\sin(\arctan\frac{b}{a}))$
    1. $z=1,5 + i$ also $z= \sqrt{3,25}\cdot(\cos(0.588)+i\sin(0.588))$
    2. $z=2+i$ also $z= \sqrt{5} \cdot(\cos(0.464)+i\sin(0.464))$ Für die beiden folgenden Aufgaben, bei denen die reale Komponente a negativ ist, muss entweder eine Korrektur bei der Berechnung des Arkustangens angebracht werden, oder eine spezielle Funktion (Arkustangens mit zwei Argumenten - bei Excel arctan2(a,b)) benutzt werden. Das liegt daran, dass z.B. die komplexe Zahlen z und -z zwar in entgegengesetzten Quadranten, aber auf der gleichen Geraden mit der Steigung $b/a$ liegen, somit kann der einfache Arkustangens nicht den Winkel zum korrekten Quadranten zu ermitteln. Der arctan2(b,a) kann definiert werden durch % $$ \operatorname{arctan2}(a,b)= \begin{cases} \arctan\frac{b}{a} & \qquad\hbox{für}\qquad a > 0\cr \arctan\frac{b}{a} + \pi & \qquad\hbox{für}\qquad a < 0 \qquad\hbox{und}\qquad b \ge 0\cr \arctan\frac{b}{a} - \pi & \qquad\hbox{für}\qquad a < 0 \qquad\hbox{und}\qquad b < 0\cr \frac{\pi}{2} & \qquad\hbox{für}\qquad a = 0 \qquad\hbox{und}\qquad b > 0\cr - \frac{\pi}{2} & \qquad\hbox{für}\qquad a = 0 \qquad\hbox{und}\qquad b < 0\cr \end{cases} $$ Es ergibt sich
    3. $z=-3+i$ also $z= \sqrt{10} \cdot(\cos(2.819)+i\sin(2.819))$
    4. $z=-4-i$ also $z= \sqrt{17} \cdot(\cos(3.387)+i\sin(3.387))$
  2. Es ergibt sich $a=r\cos(\phi)$ und $b=r\sin(\phi)$
    1. $z$ mit $r = 1.4142$ und $\phi =0.7854$ Es ergibt sich $z=1+i$
    2. $z$ mit $r = 2.2361$ und $\phi =-0.4636$ Es ergibt sich $z=2-i$