Aufgabe
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Formen Sie die folgenden komplexen Zahlen in
algebraischer Darstellung (kartesische Koordinaten) jeweils in
die trigonometrische Form (Polarkoordinaten) um.
- $z=1,5 + i$
- $z=2+i$
- $z=-3+i$
- $z=-4-i$
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Formen Sie die folgenden komplexen Zahlen in
trigonometrischer Darstellung jeweils in
die algebraische Form um.
- $z$ mit $r = 1.4142$ und $\phi =0.7854$
- $z$ mit $r = 2.2361$ und $\phi =-0.4636$
Lösung
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Für $z=a+ib$ ergibt sich $z= \sqrt{(a^2+b^2)}\cdot(\cos(\arctan\frac{b}{a})+i\sin(\arctan\frac{b}{a}))$
- $z=1,5 + i$ also $z= \sqrt{3,25}\cdot(\cos(0.588)+i\sin(0.588))$
- $z=2+i$ also $z= \sqrt{5} \cdot(\cos(0.464)+i\sin(0.464))$
Für die beiden folgenden Aufgaben, bei denen die reale Komponente a negativ ist,
muss entweder eine Korrektur bei der Berechnung des Arkustangens angebracht werden,
oder eine spezielle Funktion (Arkustangens mit zwei Argumenten - bei Excel arctan2(a,b))
benutzt werden. Das liegt daran, dass z.B. die komplexe Zahlen z und -z zwar in
entgegengesetzten Quadranten, aber auf der gleichen Geraden mit der Steigung $b/a$ liegen,
somit kann der einfache Arkustangens nicht den Winkel zum korrekten Quadranten zu ermitteln.
Der arctan2(b,a) kann definiert werden durch
%
$$
\operatorname{arctan2}(a,b)=
\begin{cases}
\arctan\frac{b}{a} & \qquad\hbox{für}\qquad a > 0\cr
\arctan\frac{b}{a} + \pi & \qquad\hbox{für}\qquad a < 0 \qquad\hbox{und}\qquad b \ge 0\cr
\arctan\frac{b}{a} - \pi & \qquad\hbox{für}\qquad a < 0 \qquad\hbox{und}\qquad b < 0\cr
\frac{\pi}{2} & \qquad\hbox{für}\qquad a = 0 \qquad\hbox{und}\qquad b > 0\cr
- \frac{\pi}{2} & \qquad\hbox{für}\qquad a = 0 \qquad\hbox{und}\qquad b < 0\cr
\end{cases}
$$
Es ergibt sich
- $z=-3+i$ also $z= \sqrt{10} \cdot(\cos(2.819)+i\sin(2.819))$
- $z=-4-i$ also $z= \sqrt{17} \cdot(\cos(3.387)+i\sin(3.387))$
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Es ergibt sich $a=r\cos(\phi)$ und $b=r\sin(\phi)$
- $z$ mit $r = 1.4142$ und $\phi =0.7854$
Es ergibt sich $z=1+i$
- $z$ mit $r = 2.2361$ und $\phi =-0.4636$
Es ergibt sich $z=2-i$