Wir definieren
$$\begin{matrix}
\cos z &= &{e^{iz} + e^{-iz}\over 2} \cr
\cr
\sin z &= &{e^{iz} - e^{-iz}\over 2i} \cr\end{matrix}$$
Aus der Potenzreihendefinition von $e^z$ ergibt sich
$$\begin{matrix}
\cos z &= &{1\over 2} \left( 1 + {iz\over 1!} + {(iz)^2\over 2!} +
{(iz)^3\over 3!} + {(iz)^4\over 4!}\right. \cr
&&\quad \left. + 1 + {-iz\over 1!} + {(-iz)^2\over 2!} + {(-iz)^3\over 3!} +
{(-iz)^4\over 4!} \dots \right) \cr
&= &{1\over 2} \left( 2 + 0 - 2 {z^2\over 2!} + 0 + 2{z^4\over 4!}
\dots\right. \cr
&= &1 - {z^2\over 2!} + {z^4\over 4!} - {z^6\over 6!} \cr
\hbox{Ebenso} && \cr
\sin z &= &z - {z^3\over 3!} + {z^5\over 5!} - {z^7\over 7!} \cr\cr
\cr\end{matrix}$$
Benutzen wir die Potenzreihenentwicklung der Sinusfunktion
$$\begin{matrix}
\sin z &= z &- {z^3\over 3!} &+ {z^5\over 5!} &- {z^7\over 7!} &+ \dots
\cr
\cr
\sin'z &= 1 &- {z^2\over 2!} &+ {z^4\over 4!} &- {z^6\over 6!} &+ \dots
\cr
\cr
&= &\cos z &&&\cr\end{matrix}$$
Ebenso
$$\begin{matrix}
\cos z &= 1 &- {z^2\over 2!} &+ {z^4\over 4!} &- {z^6\over 6!}& \cr
\cr
\cos'z &= 0 &- {z\over 1!} &+ {3z\over 3!} &- {z^5\over 5!} & \cr
\cr
&= & &- &\sin z & \cr\end{matrix}$$
Das heißt, daß die im Komplexen definierten Sinus- und
Kosinusfunktionen das gleiche Ableitungsverhalten besitzen wie die
ursprünglich im Reellen definierten.
Es gilt
$$\begin{matrix}
\cos^2 z &= &\frac{\left(e^{iz} + e^{-iz}\right)\left(e^{iz} + e^{-iz}\right)}{ 4} \cr
\cr
&= &\frac{e^{2iz} + 2e^{iz-iz} + e^{-2iz}}{ 4} = \frac{e^{2iz} + 2e^{0} + e^{-2iz}}{ 4} \cr
\cr
\sin^2 z &= &\frac{\left(e^{iz} - e^{-iz}\right)\left(e^{iz} - e^{-iz}\right)}{ -4} \cr
\cr
&= &\frac{e^{2iz} - 2e^{iz-iz} + e^{-2iz}}{ -4} = \frac{e^{2iz} - 2e^{0} + e^{-2iz}}{ -4} \cr
\end{matrix}$$
$$\cos^2 z + \sin^2 z
= \frac{e^{2iz} + 2 + e^{-2iz}}{ 4} - \frac{e^{2iz} - 2 + e^{-2iz}}{ 4}
= \frac{ 2+2}{ 4} =1
$$
Also
$$\cos^2 z + \sin^2 z = 1$$
Dies entspricht der fundamentalen Beziehung für $\sin$ und $\cos$ im
Reellen.