Wir betrachten das Polynom $f(x)=x^2+ px + q$ mit $p =-6$ und
unterschiedlichen Werten für $q$ zwischen z.B. 5 und 13. Eine
solche Variation des absoluten Wertes $q$ entspricht einer
Verschiebung des Kurvenverlaufs von unten nach oben. Nullstellen
des Polynoms entsprechen dann dem Schnittpunkt der Parabel mit der
Abszisse. Wir betrachten dabei insbesondere die folgenden Werte:
- $q= 5$: $f(x)=x^2 - 6x + 5$
$x_{1,2}= 3\pm\sqrt{9-5}=3\pm 2$
Zwei Nullstellen, die den beiden Schnittpunkten der Parabel mit der x-Achse bei $x=1$ und $x=5$ entsprechen.
- $q= 9$: $f(x)=x^2 - 6x + 9$
$x_{1,2}= 3\pm\sqrt{9-9}=3$
Eine doppelte Nullstelle, die dem Tangentialpunkt der Parabel mit der x-Achse bei $x=3$ entspricht.
- $q= 13$: $f(x)=x^2 - 6x + 13$
$x_{1,2}= 3\pm\sqrt{9-13}=3\pm 2\sqrt{-1}$
Keine reelle Nullstelle, damit auch kein Schnittpunkt der Parabel mit der x-Achse.
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