Ist es möglich die partiellen Ableitungen $f_x(x,y)$ und
$f_y(x,y)$ einer Funktion $f(x,y)$ als Funktion von den Variablen
$x$ und $y$ wiederum partiell nach diesen Variablen zu
differenzieren, so ergeben sich die partiellen Ableitungen
zweiter Ordnung:
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial
x}\right)=\frac {\partial^2f}{\partial x^2}=f_{xx}, \qquad \qquad
\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial
x}\right)=\frac {\partial^2f}{\partial x \partial y}=f_{xy},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial
y}\right)=\frac {\partial^2f}{\partial y \partial x}=f_{yx}, \qquad
\qquad \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial
y}\right)=\frac {\partial^2f}{\partial y^2}=f_{yy}.
\end{equation*}
Bei der Schreibweise zu den Ableitungen höherer Ordnung gibt die
Ordnung der Indizes die Reihenfolge an, nach der die partiellen
Ableitungen gebildet werden.
Beispiel
Gegeben sei die schon bekannte Produktionsfunktion:
\begin{equation*}
y=f(A,K)= 4A^{0,5} \cdot K^{0,5} \qquad \forall \qquad A,K>0
\end{equation*}
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung lauteten:
\begin{equation*}
f_A=\frac {\partial f}{\partial A}=2 \cdot \left(\frac
{K}{A}\right)^{0,5}
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
f_K=\frac {\partial f}{\partial K}=2 \cdot \left(\frac
{A}{K}\right)^{0,5}
\end{equation*}
Dann sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:
\begin{equation*}
f_{AA}=2\cdot (-0,5)\cdot K^{0,5}\cdot A^{-1,5}=-\left(\frac
{K}{A^3}\right)^{0,5},
\end{equation*}
\begin{equation*}
f_{AK}=2\cdot (0,5)\cdot K^{-0,5}\cdot A^{-0,5}=\left(\frac
{1}{K\cdot A}\right)^{0,5},
\end{equation*}
\begin{equation*}
f_{KA}=2\cdot (0,5)\cdot K^{-0,5}\cdot A^{-0,5}=\left(\frac
{1}{K\cdot A}\right)^{0,5},
\end{equation*}
\begin{equation*}
f_{KK}=2\cdot (-0,5)\cdot A^{0,5}\cdot K^{-1,5}=-\left(\frac
{A}{K^3}\right)^{0,5}.
\end{equation*}
Wie das Beispiel zeigt, sind die gemischten Ableitungen $f_{AK}$
und $f_{KA}$ identisch. Von der geometrischen Deutung sind jedoch
die beiden partiellen Ableitungen zweiter Ordnung vollkommen
unterschiedlich zu interpretieren!
Für die meisten Funktionen hat aber der Satz von Schwarz
Gültigkeit:
Satz [Satz von Schwarz][Young-Theorem]
Existieren für eine Funktion $f(x,y)$an einer Stelle $(x_0,y_0)$
alle partiellen Ableitungen höherer Ordnung und sind sämtliche
Ableitungen in $(x_0,y_0)$ stetig, so ist die
Differentationsreihenfolge nicht von Bedeutung.