Für Funktionen $f(x_i)$ mit mehr als zwei Variablen, werden die partiellen Ableitungen analog behandelt. Die Steigung der Funktion $f(x_i)$ bei Änderung nur einer der $n$ unabhängigen Variablen, unter Konstanz der übrigen Variablen ist definiert durch:
Definition [Partielle Ableitungen(b)]
Als partielle Ableitung der Funktion $f(x_1,x_2, ...,x_n)$ nach
einer Variablen $x_i$ wird die Ableitung der nur von der Variablen
$x_i$ abhängigen Funktion $f(x_i)$ nach der Variablen $x_i$ bei
Konstantsetzung aller übrigen Variablen definiert.
\begin{eqnarray*}
\frac {\partial f} {\partial x_i}, \qquad f'_{x_i}, \qquad f_{x_i}
\end{eqnarray*}
Um die partielle Ableitung von der Ableitung einer Funktion einer
Variablen zu unterscheiden, wird der Buchstabe \glqq d\grqq\ im
Differential durch den Buchstaben '$\partial$' ersetzt.
Alle bisher genannten Differentiationsregeln lassen sich auf die
partiellen Ableitungen übertragen, da die übrigen unabhängigen
Variablen als Konstante behandelt werden. Die partiellen
Ableitungen werden später bei der "Partialanalyse"
ökonomischer Funktionen als wichtiges Analyseinstrument genutzt.
Bei diesen Analysen ist es von Interesse, wie sich eine
Zielfunktion bei Variation von nur einer Variablen verhält. Alle
ökonomischen Ausdrücke der Form Grenznutzen, Grenzkosten,
marginale Sparquote, marginale Konsumquote, usw. können durch die
Partialanalyse von ökonomischen Funktionen hergeleitet werden.
Beispiel
Wir gehen von einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit den
Faktoren Arbeit und Kapital aus:
\begin{equation*}
y=f(A,K)= 4A^{0,5} \cdot K^{0,5} \qquad \forall \qquad A,K>0
\end{equation*}
Gesucht werden sollen die Grenzproduktivität der Faktoren Arbeit
und Kapital.
Die Grenzproduktivität der Arbeit ergibt sich als: \begin{equation*} \frac {\partial y}{\partial A}=4 \cdot 0,5 \cdot A^{-0,5} \cdot K^{0,5}= 2 \cdot A^{-0,5} \cdot K^{0,5}= 2 \cdot \left(\frac {K}{A}\right)^{0,5} \end{equation*} und die Grenzproduktivität des Kapitals durch: \begin{equation*} \frac {\partial y}{\partial K}=4 \cdot 0,5 \cdot A^{0,5} \cdot K^{-0,5}= 2 \cdot A^{0,5} \cdot K^{-0,5}=2 \cdot \left(\frac {A}{K}\right)^{0,5} \end{equation*} Ergebnis: Für alle $A,K > 0$ sind die Grenzproduktivitäten positiv und somit ist der Output bezüglich der beiden Faktoren Arbeit und Kapital steigend.
Die Grenzproduktivität der Arbeit ergibt sich als: \begin{equation*} \frac {\partial y}{\partial A}=4 \cdot 0,5 \cdot A^{-0,5} \cdot K^{0,5}= 2 \cdot A^{-0,5} \cdot K^{0,5}= 2 \cdot \left(\frac {K}{A}\right)^{0,5} \end{equation*} und die Grenzproduktivität des Kapitals durch: \begin{equation*} \frac {\partial y}{\partial K}=4 \cdot 0,5 \cdot A^{0,5} \cdot K^{-0,5}= 2 \cdot A^{0,5} \cdot K^{-0,5}=2 \cdot \left(\frac {A}{K}\right)^{0,5} \end{equation*} Ergebnis: Für alle $A,K > 0$ sind die Grenzproduktivitäten positiv und somit ist der Output bezüglich der beiden Faktoren Arbeit und Kapital steigend.