Untersuchen Sie die nebenstehenden Abbildungen. In der oberen ist eine
konvexe (konkave) Funktion und unten die Ableitung dazu abgebildet.
Verschieben Sie den roten Punkt und beobachten Sie die Entwicklung
der Tangentensteigung und den zugehörigen Ableitungsverlauf.
Führen Sie dasselbe mit dem konkaven Verlauf durch!
Satz [Monotonieverhalten der ersten Ableitung]
Da die Ableitung 2.Ordnung die Steigung der 1.Ableitung angibt,
ist dieser Zusammenhang gleich bedeutend damit, dass die Ableitung
2.Ordnung $f''(x)$ für konkave Funktionen negativ ist.
Eine Ableitung einer reelle Funktion $f'$ heißt monoton steigend (wachsend) auf $I$, wenn gilt, dass $f''(x) \geq 0$ auf $I$ . Eine Ableitung einer reellen Funktion $f'$ heißt monoton fallend, wenn $f''(x) \leq 0$ auf $I$ gilt.
Satz [Konkave Funktionen]
Ist eine mindestens zweimal differenzierbare Funktion $f(x)$ innerhalb eines bestimmten Intervalls I konkav, dann ist die 1.Ableitung $f'(x)$ streng monoton fallend und die Ableitung 2.Ordnung $f''(x)$ negativ: $f''(x)\leq 0 \Rightarrow f'(x)$ ist streng monoton fallend $\Rightarrow f'(x) $ ist konkav |