Bei der Krümmung einer Funktion $f(x)$ handelt es sich um eine partielle Betrachtung und die Überprüfung ist mit Hilfe der Definition sehr unbequem. Mit Hilfe der Differentialrechnung steht uns jedoch ein Instrument zur Verfügung, dass es gestattet aus dem Monotonieverhalten und der Ableitung 2.Ordnung $f''(x)$ das Krümmungsverhalten einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.
Wird der Graf einer konkaven Funktion betrachtet, so ist für zunehmende $x$-Werte die Tangentensteigung abnehmend, d.h. die 1.Ableitung ist monoton fallend.
Untersuchen Sie die nebenstehenden Abbildungen. In der oberen ist eine konvexe (konkave) Funktion und unten die Ableitung dazu abgebildet. Verschieben Sie den roten Punkt und beobachten Sie die Entwicklung der Tangentensteigung und den zugehörigen Ableitungsverlauf.
Führen Sie dasselbe mit dem konkaven Verlauf durch!
Satz [Monotonieverhalten der ersten Ableitung]
Eine Ableitung einer reelle Funktion $f'$ heißt monoton steigend (wachsend) auf $I$, wenn gilt, dass $f''(x) \geq 0$ auf $I$ . Eine Ableitung einer reellen Funktion $f'$ heißt monoton fallend, wenn $f''(x) \leq 0$ auf $I$ gilt.
Da die Ableitung 2.Ordnung die Steigung der 1.Ableitung angibt, ist dieser Zusammenhang gleich bedeutend damit, dass die Ableitung 2.Ordnung $f''(x)$ für konkave Funktionen negativ ist.
Satz [Konkave Funktionen]
Ist eine mindestens zweimal differenzierbare Funktion $f(x)$ innerhalb eines bestimmten Intervalls I konkav, dann ist die 1.Ableitung $f'(x)$ streng monoton fallend und die Ableitung 2.Ordnung $f''(x)$ negativ:
$f''(x)\leq 0 \Rightarrow f'(x)$ ist streng monoton fallend $\Rightarrow f'(x) $ ist konkav
   
Adäquat gilt für konvexe Funktionen, dass die Werte der 1.Ableitung $f'(x)$ streng monoton zunehmen und die 2.Ableitung $f''(x)$ entsprechend positiv ist.
Satz [Konvexe Funktionen] Ist eine mindestens zweimal differenzierbare Funktion $f(x)$ innerhalb eines bestimmten Intervalls I konvex, dann ist die 1.Ableitung $f'(x)$ streng monoton wachsend und die Ableitung 2.Ordnung $f''(x)$ positiv:
$f''(x)\geq 0 \Rightarrow f'(x)$ ist streng monoton wachsend $ \Rightarrow f'(x)$ ist konvex