Definition: [Umgebung]
Unter der $\epsilon$-Umgebung des Punktes $\vec{x}$ in
$\mathbb{R}^{n}$ versteht man die Menge aller Punkte
$\vec{y}\in\mathbb{R}^{n}$ mit
\begin{equation*}
|\vec{x}-\vec{y}| < \epsilon
\end{equation*}
Definition [Häufungspunkt]
Ein Punkt $\vec{x} \in \mathbb{R}^{n}$ heißt Häufungspunkt in
$M\subset\mathbb{R}^{n}$, wenn in jeder $\epsilon$-Umgebung von
$\vec{x}$ noch unendlich viele Punkte aus $M$ liegen.
Hinweis Der Häufungspunkt muss nicht in $M$ liegen.
Als Beispiel betrachte man die Menge $M$ der Punkte ${1\over x}$ mit $x\in \mathbb{N}$.
Einziger Häufungspunkt dieser Menge ist $0$. Dieser Wert ist kein Element von $M$.
Definition [Randpunkt, Innerer Punkt]
$\vec{x}\in \mathbb{R}^{n}$ heißt Randpunkt der Menge $M\subset\mathbb{R}^{n}$, genau dann, wenn in jeder Umgebung von
$\vec{x}$ mindestens ein Punkt aus $M$ und mindestens ein Punkt nicht aus $M$ liegt.
$\vec{x}\in \mathbb{R}^{n}$ heißt Innerer Punkt der Menge
$M\subset\mathbb{R}^{n}$, genau dann, wenn eine Umgebung von
$\vec{x}$ existiert, die nur Punkte aus $M$ enthält.
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Beispiel
Man betrachte z.B. die Menge
\begin{equation*}
\{ \vec x |\quad 0 < x_1 < 4 \hbox{ und } 0 < x_2 < 3\}
\end{equation*}
in nebenstehender Abbildung. Der Punkt $\vec x$ ist Randpunkt, der
Punkt $\vec y$ ist kein Randpunkt, da z.B. die eingezeichnete
Umgebung keinen Punkt der Menge enthält. Ebenso ist $\vec z$ ist
kein Randpunkt aber innerer Punkt, da die eingezeichnete Umgebung
nur Punkte der Menge enthält.
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