Sind zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ stetig in $a$, so gelten die folgenden Eigenschaften:
  1. Die Funktionen $f+g$ und $f-g$ sind ebenfalls stetig in a.
  2. Die Verknüpfung der Funktionen $f*g$ und $f/g$ sind stetig in $a$, wenn $g(a)\neq 0$.
  3. Die Funktion $f(x)^r$ ist stetig in $a$, wenn $f(a)^r$ definiert ist.
  4. Ist die Funktion $f$ stetig und besitzt in einem Intervall $I$ eine Inverse, dann ist die Inverse $f^-1$ stetig auf $f(I)$.

Hinweis: Die Betragsfunktionen, alle ganz rationale Funktionen sowie gebrochen rationale Funktionen (außer an der Polstelle), die Wurzelfunktionen, die Exponentialfunktionen als auch die Logarithmusfunktionen ($ \log_{a} x$ für $x>0$) sind in ihrem ganzen Definitionsbereich stetig!



Eine bekannte unstetige Funktion, die in den Wirtschaftswissenschaften häufig Verwendung findet, ist die Treppenfunktion (Vgl. nebenstehende Abbildung). Diskrete Funktionen, wie z.B. die diskrete Nutzen- und Grenznutzenfunktion [Reiß, "Mikroökonomische Theorie: Historisch fundierte Einführung", S.195, reiss:2007 ] , sind immer unstetig.
Treppenfunktion

Eine unstetige Funktion $f(x)$ kann an der Stelle $x=a$ die folgenden Unstetigkeitstypen aufweisen:
  1. Definitionslücke und Einsiedlerpunkt (hebbare Unstetigkeit): Es existiert ein Grenzwert $\lim _{{x\rightarrow a}}f(x)$, die Funktion ist aber an der Stelle nicht definiert. Hinweis: Die Unstetigkeit wird durch stetige Ergänzung der Funktion an der Stelle $x=a$ behoben, indem der Grenzwert laut Definition als Funktionswert dient: \begin{equation*} \lim _{{x\rightarrow a}}f(x)=\lim _{{x\rightarrow a^+}}f(x)=\lim_{{x\rightarrow a^-}}f(x)= f(a). \end{equation*}
  2. Sprungstelle: Die Funktion besitzt an der Stelle $x=a$ keinen Grenzwert. Es gilt: \begin{equation*} \lim _{{x\rightarrow a^+}}f(x)\neq\lim _{{x\rightarrow a^-}}f(x). \end{equation*}
  3. Unendlichkeitsstelle (Polstelle): Die Funktion wächst über alle Grenzen und ein Grenzwert $\lim _{{x\rightarrow a^+}}f(x)$ existiert an der Stelle $x=a$ nicht.