Von einem einseitigen Grenzwert $\bar{A}$ von links oder Grenzwert von unten wird gesprochen, wenn gilt:
\begin{eqnarray*}
\lim _{{x\rightarrow a^-}} f(x) &=& \bar{A} \quad
\Longleftrightarrow f(x) \rightarrow \bar{A}, \quad wenn \quad
x\rightarrow a^- \quad oder\\
\lim _{{x\rightarrow a^-}} f(x) &=& \bar{A}
\quad\Longleftrightarrow f(x) \rightarrow \bar{A}, \quad wenn
\quad x\rightarrow a, \quad \forall \quad x < a.
\end{eqnarray*}
Von einem einseitigen Grenzwert $\bar{A}$ von rechts oder Grenzwert von oben wird dagegen gesprochen, wenn gilt:
\begin{eqnarray*}
\lim _{{x\rightarrow a^+}} f(x) &=& \bar{A} \quad
\Longleftrightarrow f(x) \rightarrow \bar{A}, \quad wenn \quad
x\rightarrow a^+ \quad oder\\
\lim _{{x\rightarrow a^+}} f(x) &=& \bar{A}
\quad\Longleftrightarrow f(x) \rightarrow \bar{A}, \quad wenn
\quad x\rightarrow a, \quad \forall \quad x > a.
\end{eqnarray*}
Der oben definierte normale Grenzwert $\bar{A}$ einer Funktion existiert nur, wenn die links- und rechtsseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind. Für den Grenzwert gilt somit:
\begin{equation*}
\lim _{{x\rightarrow a}} f(x)= \bar {A}\Longleftrightarrow \Biggl[
{\lim _{x\rightarrow a^-}} f(x) = \bar{A} \quad und \quad \lim
_{{x\rightarrow a^+}} f(x) = \bar{A} \Biggr].
\end{equation*}
In der Abbildung des vorherigen Blattes liegt sowohl ein linksseitiger als auch ein rechtsseitige Grenzwert vor, die jedoch unterschiedliche Werte annehmen.
Der linksseitige Grenzwert für x gegen Null wird minus unendlich:
\begin{equation*}
\lim _{{x\rightarrow 0^-}}f(x) = - \infty \quad
\Longleftrightarrow f(x) \rightarrow - \infty, \quad wenn \quad
x\rightarrow 0^-.
\end{equation*}
Der rechtsseitige Grenzwert für x gegen Null läuft gegen plus
unendlich:
\begin{equation*}
\lim _{{x\rightarrow 0^+}}f(x) = + \infty \quad
\Longleftrightarrow f(x) \rightarrow + \infty, \quad wenn \quad x
\rightarrow 0^+.
\end{equation*}
Die Grenzwertbetrachtung zeigt, dass die vorgegebene Funktion an der Stelle $x=0$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt (Sprungstelle). Bei der linksseitigen Annäherung fällt die Funktion unter alle Grenzen, bei der rechtsseiten Annäherung steigt sie über alle Grenzen. Für den Fall, dass die links- und rechtsseitigen Grenzwerte unterschiedliche Werte annehmen, liegt kein Grenzwert vor.