\begin{equation*}
y = f(x_1 , x_2 ) = A \cdot x_1^{a_1} x_2^{a_2}
\end{equation*}
Daraus können wir die Ableitung bilden (Grenzprodukte der
Cobb-Douglas-Funktion)
\begin{equation*}
{\partial f \over \partial x_1} = A\cdot a_1 x_1^{a_1-1}x_2^{a_2} \quad (*)
\end{equation*}
\begin{equation*}
{\partial f \over \partial x_2} = A\cdot a_2 x_1^{a_1}x_2^{a_2-1} \quad (**)
\end{equation*}
Daraus ergibt sich
\begin{equation*}
{dx_2 \over dx_1}= -{{\partial f \over \partial x_1}
\over {\partial f \over \partial x_2}} = - {A\cdot a_1
x_1^{a_1-1} x_2^{a_2} \over A\cdot
a_2 x_1^{a_1}x_2^{a_2-1} }
\end{equation*}
\begin{equation*}
{dx_2 \over dx_1}= - {a_1 x_2 \over a_2 x_1}
\end{equation*}
Das ist die Grenzrate der technischen Substitution (technische
Substitutionsrate) für die Cobb-Douglas-Funktion.