\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Aufgabe
Die Grenzrate der technischen Substitution (technische Substitutionsrate) für die Cobb-Douglas-Funktion ist - wie abgeleitet - \begin{equation*} {dx_2 \over dx_1}= - {a_1 x_2 \over a_2 x_1} \end{equation*}
  1. Gehen Sie aus von $a_1 = a_2$ und bestiummen Sie
    1. Grenzrate der technischen Substitution auf der 45°- Geraden.
    2. Die Grenzrate der technischen Substitution auf der Geraden $x_2=2x_1$.
    3. Die Grenzrate der technischen Substitution auf der Geraden $x_2=\frac{1}{2}x_1$
    Skizzieren jeweils Sie die Ergebnisse.
  2. Führen Sie die gleichen Überlegungen durch, wenn $a_1\ne a_2$. Betrachten Sie dabei insbesondere die 45° -Linie.
  1. Die Grenzrate der Substitution ergibt sich für $a_1=a_2$: als: \begin{equation*} {dx_2 \over dx_1}= - {a_1 x_2 \over a_2 x_1} = - { x_2 \over x_1} \end{equation*}
    • Auf der 45°-Linie gilt $x_1 = x_2$. also ist ${dx_2 \over dx_1}= -1 $    
    • auf der Geraden $x_2=2x_1$ ist ${dx_2 \over dx_1} =- { x_2 \over x_1}=- { 2x_1 \over x_1}=-2$
    • auf der Geraden $x_2=\frac{1}{2}x_1$ ist ${dx_2 \over dx_1} =- { x_2 \over x_1}=- { \frac{1}{2}x_1 \over x_1}=-\frac{1}{2}$
  2. Es gilt auf der 45°-Linie wegen $x_1 = x_2$: \begin{equation*} {dx_2 \over dx_1}= - \frac{a_1 x_2 }{ a_2 x_1} = - \frac{a_1 }{ a_2 } \end{equation*}
    • Es sei $a_1> a_2$. also ist $\frac{dx_2 }{ dx_1}= - \frac{a_1 }{ a_2 } < -1 $    
    • Es sei $a_1 < a_2$. also ist $\frac{dx_2 }{ dx_1}= - \frac{a_1 }{ a_2 } > -1 $    
Vervielfacht man beide Faktoren im selben Maße, so bleibt die technische Substitutionsrate gleich.
{Techn. Substitutionsrate der C-D-Funktion 2} Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion hat auf einem Fahrstrahl durch den Ursprung überall die gleiche Substitutionsrate: