\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Im realen Leben sind Güter und Produktionsfaktoren knapp. Das
bedeutet, dass nicht jeder jedes Gut unbegrenzt bekommen kann. Die
Substitutionsrate gibt an, wie viel ein Individuum von einen Gut
abgibt, um mehr von dem anderen gut zu bekommen. So misst die
technische Substitutionsrate, wie bei Veränderung eines
Inputfaktors der andere Inputfaktor angepasst werden muss, um den
Output konstant zu halten.
Wir gehen aus von einer Produktionsfunktion $y = f(\vec{x})$ bzw.
ausgeschrieben
\begin{equation*}
y = f(x_1, \dots, x_n).
\end{equation*}
Man stelle sich einen Vektor von Veränderungen der Inputmengen
vor, den wir $dx = (dx_1, dx_2, ... dx_n)$ schreiben. Die
dazugehörige Veränderung des Outputs ist
\begin{equation*}
dy = {\partial f \over \partial x_1} \cdot dx_1
+ {\partial f \over \partial x_2} \cdot dx_2 + \dots +{\partial f
\over \partial x_n} \cdot dx_n
\end{equation*}
Dieser Ausdruck ist bekannt als das
vollständige Differential
.
Betrachtet werden soll der Fall, dass sich nur die Mengen der
Faktoren $i$ und $j$ ändern und dass der Output konstant bleibt, also $dy
= 0$, d.h. wir betrachten eine isoquante Faktorvariation.
\begin{equation*}
dx_k = 0 \ \ \ k \ne i,j
\end{equation*}
Wir bekommen
\begin{equation*}
0 = {\partial f \over \partial x_i} \cdot dx_i + {\partial f
\over \partial x_j} \cdot dx_j
\end{equation*}
Daraus folgt
\begin{equation*}
-{\partial f \over \partial x_j} \cdot dx_j
=
{\partial f \over \partial x_i} \cdot dx_i
\end{equation*}
und somit
\begin{equation*}
\underbrace{
-{{\partial f \over \partial x_j}\over {\partial f \over \partial x_i} }}_{}
\qquad = \qquad
\underbrace { \frac{dx_i }{ dx_j}}_{} \qquad\qquad
\end{equation*}
das negative Verhältnis der Grenzproduktivitäten zwischen Gut j und Gut i
Grenzrate der techn. Substitution zwischen Gut i und Gut j
Das ist die technische Substitutionsrate. Die Substitutionsrate
ist gleich dem negativen reziproken Verhältnis der Grenzprodukte.