\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Definition [Skalenerträge]

Es sei angenommen, dass wir einen Vektor von Inputs $\vec x$ verwenden, um einen Output y zu produzieren: $y = f(\vec{x})$ (Produktionsfunktion) und dass wir uns entscheiden, alle Inputs proportional um eine Faktor $\lambda > 1$ herauf zusetzen.
Gilt dann:

$\qquad \lambda f(\vec{x}) < f(\lambda \vec{x})\qquad $ so besitzt die Produktionsfunktion zunehmende Skalenerträge.

$\qquad \lambda f(\vec{x}) = f(\lambda \vec{x})\qquad $ so besitzt die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge.

$\qquad \lambda f(\vec{x}) > f(\lambda \vec{x})\qquad $ so besitzt die Produktionsfunktion abnehmende Skalenerträge.
Durch die Wahl $\lambda > 1$ ist diese Definition nur für das Vervielfachen erklärt. Die nächste Aufgabe erweitert diese Definition für den Fall des proportionalen Verkleinerns aller Inputs.
Aufgabe

Zeigen Sie, dass für $\alpha < 1 $ gilt:
  1. $$f(\alpha \vec x) > \alpha f(\vec x)$$ bei abnehmenden Skalenerträgen
  2. $$f(\alpha \vec x) < \alpha f(\vec x)$$ bei zunehmenden Skalenerträgen
Hinweis zur Aufgabe

Setzen Sie $\lambda= {1\over \alpha} > 1$ Dann gilt $\lambda > 1$
Gehen Sie dann für beliebiges $\hat{\vec x}$ von der Definition der abnehmenden Skalenerträge $$f (\lambda \hat{\vec x}) < \lambda f (\hat{\vec x})$$ aus und ersetzen Sie $\lambda$ durch $\alpha$.
Der Beweis für abnehmende Skalenerträge läuft entsprechend.
Lösung a. abnehmenden Skalenerträge Wir setzen $\lambda= {1\over \alpha} > 1$. Dann gilt nach Definition bei abnehmenden Skalenerträgen für beliebiges $\hat{\vec x}$ $$f (\lambda \hat{\vec x}) < \lambda f (\hat{\vec x})$$ Wir setzen $\lambda \hat{\vec x} \buildrel \rm def \over = \vec x$ also $\hat{\vec x} = {1\over\lambda}\vec x$ Dann ergibt sich $$f(\vec x) < \lambda f({1\over \lambda} \vec x)$$ $${1\over \lambda} f(\vec x) < f({1\over \lambda}\vec x)$$ $$\alpha f(\vec x) < f(\alpha \vec x)$$ b- zunehmenden Skalenerträge Der Beweis entspricht exakt dem Beweis für abnehmende Skalenerträge. Wir setzen $\lambda= {1\over \alpha} > 1$. Dann gilt nach Definition bei zunehmenden Skalenerträgen für beliebiges $\hat{\vec x}$ $$f (\lambda \hat{\vec x}) > \lambda f (\hat{\vec x})$$ Wir setzen $\lambda \hat{\vec x} \buildrel \rm def \over = \vec x$ also $\hat{\vec x} = {1\over\lambda}\vec x$ Dann ergibt sich $$f(\vec x) > \lambda f({1\over \lambda} \vec x)$$ $${1\over \lambda} f(\vec x) > f({1\over \lambda}\vec x)$$ $$\alpha f(\vec x) > f(\alpha \vec x)$$
Aus der Aufgabe ergibt sich:
Satz Für $\alpha <1 $ gilt
  1. bei abnehmenden Skalenerträgen \begin{equation*} f(\alpha \vec x) > \alpha f(\vec x) \end{equation*}
  2. bei zunehmenden Skalenerträgen \begin{equation*} f(\alpha \vec x) < \alpha f(\vec x) \end{equation*}