Aufgabe
Bestimmen Sie die Skalenerträge der allgemeinen
Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
$$y = f(x_1,x_2) = A x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}$$
Lösung
Das ist einfach zu bestimmen:
$$f(\lambda x_1,\lambda x_2) = A\cdot (\lambda x_1)^{a_1} \cdot(\lambda x_2)^{a_2}$$
$$= A\cdot \lambda^{a_1} x_1^{a1} \cdot\lambda^{a_2} x_2^{a_2}$$
$$= A\cdot \lambda^{a_1+a_2} x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2} = \lambda^{a_1+a_2} y$$
$$ =\lambda^{a_1+a_2} y \ \ \ \ \
\left\{ \begin{matrix}> \lambda y \ \ \ \ \hbox{ für } \ a_1+a_2>1 \cr
= \lambda y \ \ \ \ \hbox{ für } \ a_1+a_2=1 \cr
< \lambda y \ \ \ \ \hbox{ für } \ a_1+a_2<1
\cr
\end{matrix}\right.$$
Satz [Skalenerträge der CD-Funktion]
Aus der Aufgabe ergibt sich:
Die allgemeine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
\begin{equation*}
y = f(x_1,x_2) = A x_1^{a_1}\cdot x_2^{a_2}
\end{equation*}
besitzt für
$$a_1 + a_2 < 1 \mbox{ abnehmende Skalenerträge}$$
$$a_1 + a_2 = 1 \mbox{ konstante Skalenerträge}$$
$$a_1 + a_2 > 1 \mbox{ zunehmende Skalenerträge}$$