\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Die notwendige Bedingung (Wertgrenzprodukt-Regel bei einem Faktor) läßt sich auch grafisch vorführen. Im folgenden werden wir ein Unternehmen mit einem Output $y$ und einem Inputbündel $x$ untersuchen. Der Preis von $y$ sei $p$, die Preise von $\vec{x}$ seien $\vec{w} = (w_1, ..., w_n)$.
Um die Zusammenhänge einfach ableiten zu können, betrachten wir hier ein Ein-Produkt Unternehmen. Dann ist der Gewinn gegeben durch \begin{equation*} G( y ) = p\cdot y - w_1 \cdot x_1 \end{equation*}
Daraus ergibt sich für festes G als Isogewinngerade: \begin{equation*} y = {G \over p} + {w_1 \over p} \cdot x_1 \end{equation*} Die Isogewinngerade hat die Steigung des ``Reallohns'' $w_1\over p$ und schneidet die Ordinate beim "Realgewinn" $G\over p$. Der "Realgewinn" und damit bei gegebenen $p$ der Gewinn ist um so höher, je höher die Gerade liegt.

Allerdings muss berücksichtigt werden, dass der Unternehmer nur einen Punkt auf (oder unter) der Produktionsfunktion realisieren kann. Optimum ist also durch die höchstgelegene Isogewinngerade gegeben, die gerade noch einen Punkt mit der Produktionsfunktion gemeinsam hat. Dieser Tangentialpunkt bestimmt bei gegebenen Faktorpreis $w_1$ und Preis p den optimalen Faktoreinsatz $x^*_1$ und den optimalen Output y*.
In diesem Punkt ist die Steigung der Produktionsfunktion gleich der Steigung der Isogewinngeraden, also \begin{equation*} {\partial f \over \partial x_1} = {w_1 \over p} \end{equation*} Dies entspricht der Wertgrenzproduktregel.


Wertgrenzprodukt
Besitzt die Produktionsfunktion zunehmende Skalenerträge, so bestimmt die Wertgrenzprodukt-Regel ein (negatives) Gewinnminimum. Geht man von nebenstehendem Verlauf aus und unterstellt einen Lohnsatz von $w=1,3$ und einen Produktpreis von $p=1$, so ist die Wertgrenzproduktregel bei einem Input von 2 und einem Output von 1,4 erfüllt. Das ergibt einen Gewinn von $1,4\cdot 1 - 2\cdot 1,3=-1,2$

Der Gewinn würde um so höher, je mehr die Produktion ausgedehnt würde; theoretisch würde also mit einer unendlichen Menge von Inputs ein unendlich großer Output angeboten werden.

Unterstellt man aber, dass nur endlich viele Ressourcen zur Verfügung stehen oder der Markt nur eine endliche Menge an Gütern abnimmt, so liegt das Gewinnmaximum entweder an der Kapazitätsgrenze oder bei einer Produktion von Null.

Würde - wie in nebenstehender Abbildung - der Faktor auf 3,8 Einheiten beschränkt sein, so würde der Unternehmer einen Output von etwa 4,7 ereichen unddort einen Realgewinn von $4,7\cdot 1 - 3,8\cdot 1,3= -0,23$ machen. Die Produktion würde eingestellt werden.

Würde die Faktorbeschränkung nicht gelten, der Absatz aber durch die eingezeichnete Menge von 6 beschränkt sein, so würde der Unternehmer an dieser Kapazitätsgrenze mit einem Faktoreinsatz von 4,3 produzieren und einen positiven Realgewinn von $6\cdot 1 - 4,3\cdot 1,3= 0,41$ realisieren.


Zunehmende Skalenerträge
Besitzt die Produktionsfunktion 'konstante Skalenerträge', so ist
1. der Gewinn maximal und es wird an der Kapazitätsgrenze produziert, wenn \begin{equation*} {\partial f \over \partial x_1} > {w_1 \over p} \end{equation*}
2. der Gewinn konstant gleich Null und das Optimum nicht eindeutig bestimmt, somit Produktion unbestimmt, wenn \begin{equation*} {\partial f \over \partial x_1} = {w_1 \over p} \end{equation*}
3. kein positiver Gewinn möglich und die Produktion wird eingestellt, wenn \begin{equation*} {\partial f \over \partial x_1} < {w_1 \over p}2.5 \end{equation*}

Konstante Skalenerträge

Diese Überlegungen können wir zusammenfassen.
Die Wertgrenzprodukt-Regel stellt eine notwendige, nicht aber eine hinreichende Bedingung für ein Gewinnmaximum dar und gilt auch nur für innere Lösungen.
Eine hinreichende Bedingung für ein Maximum ergibt sich aus der Krümmung.
Ist die Produktionsfunktion konkav, d.h. die zweite Ableitung ${\partial^2 f \over \partial x_1^2}$ negativ, so ist das Optimum ein Maximum. Diese Bedingung kann für mehrere Inputs verallgemeinert werden.