\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Aufgabe Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf Homogenität.
  1. \[ f(x_1,x_2) = \min\left\{\frac{x_1}{a_1}, \frac{x_2}{a_2}\right\} \]
  2. \[ f(x_1,x_2) = \left(\min \left\{\frac{x_1}{a_1}, \frac{x_2}{a_2}\right\}\right)^\frac{1}{2} \]
  3. \[ f(x_1,x_2) = \sqrt{x_1x_2}+2x_1+\frac{x_2}{3} \]
  4. \[ f(x_1,x_2) = \sqrt{x_1x_2} + 2 \]
  5. \[ f(x_1,x_2) = \log_B{x_1} + \log_B{x_2} \]
  6. \[ f(x,y) = x^2 - 3xy +y^2 + x\sqrt{xy+\frac{x^3}{y} } \]
  7. \[ f(E,p_1,p_2) = \frac{E}{p_1+0.5p_2} \]
    Lösung
  1. Es gilt allgemein für die Minimumfunktion für $\lambda > 0$ $$\min\{ \lambda x, \lambda y\} = \lambda \cdot \min \{ x, y\}$$
    Beweis: Es sei o.B.d.A.   $x \le y$ Dann folgt $\lambda x \le \lambda y$ w.z.b.w.
    Es gilt $$f(\lambda x_1, \lambda x_2) = \min \left\{ \frac{\lambda x_1}{ a_1} \ \frac{\lambda x_2}{a_2}\right\} = \lambda \min \left\{\frac{x_1}{a_1}, \frac{x_2}{a_2}\right\} = \lambda^1 f(x_1, x_2)$$ Die Funktion ist homogen vom Grade 1.
  2. Es gilt $$f(\lambda x_1, \lambda x_2) = \left(\min \left\{\frac{\lambda x_1}{a_1} \ \frac{\lambda x_2}{a_2}\right\}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\lambda \cdot \min \left\{\frac{x_1}{a_1}, \frac{x_2}{a_2}\right\}\right)^{\frac{1}{2}} = \lambda^{\frac{1}{2}} f(x_1, x_2)$$ Die Funktion ist homogen vom Grade $\frac{1}{2}$.
  3. Es gilt \[ f(\lambda x_1,\lambda x_2) \!=\! \sqrt{\lambda x_1\lambda x_2}+2\lambda x_1+\frac{\lambda x_2}{3} \!=\! \lambda\sqrt{ x_1 x_2}+2\lambda x_1+\frac{\lambda x_2}{3} \!=\! \lambda\!\left(\!\sqrt{x_1 x_2}\!+\!2x_1\!+\!\frac{ x_2}{3}\right) \!=\!\lambda f(x_1,x_2) \] Die Funktion ist homogen vom Grad 1.
  4. \[ f(x_1,x_2) = \sqrt{x_1x_2} + 2 \] \[ f(\lambda x_1,\lambda x_2) = \sqrt{\lambda x_1\lambda x_2} + 2 = \lambda \sqrt{x_1 x_2} + 2\] Wegen des konstanten Summanden 2 ist die Funktion nicht homogen.
  5. \[ f(x_1,x_2) = \log_B{x_1} + \log_B{x_2}= \log_B{x_1x_2} \] \[ f(\lambda x_1,\lambda x_2) = \log_B{\lambda x_1} + \log_B{\lambda x_2}= \log_B{\lambda x_1 \lambda x_2} = 2\log_b \lambda + \log_B{x_1x_2} = 2\log_b \lambda + f(x_1,x_2) \] Die Funktion ist nicht homogen. (Die untersuchte Funktion ist homothetisch. Dieser Bergriff wirs später eingeführt.)
  6. \[ f(\lambda x,\lambda y) = (\lambda x)^2 - 3\lambda x\lambda y +(\lambda y)^2 + \lambda x\sqrt{\lambda x\lambda y+\frac{(\lambda x)^3}{\lambda y} } =\lambda^2 x^2 - \lambda^2 3xy +\lambda^2 y^2 + \lambda^2 x\sqrt{xy+\frac{x^3}{y} } \] \[ = \lambda^2\left(x^2 - 3xy +y^2 + x\sqrt{xy+\frac{x^3}{y}} \right) =\lambda^2 f(x,y) \]
  7. \[ f(\lambda E,\lambda p_1,\lambda p_2) = \frac{\lambda E}{\lambda p_1+0.5\lambda p_2} = \frac{ E}{p_1+0.5 p_2} =\lambda^0 f(E, p_1, p_2) \] also homogen vom Grade Null.