Beweis Aufgrund der Homogenität von $f$ gilt: $f(\lambda \vec{x}) = \lambda^r f(\vec{x})$ Leitet man beide Seiten dieser Gleichung jeweils nach $x_i$ ab, ergibt sich: $${\partial f(\lambda\vec{x})\over \partial (\lambda x_i)} \cdot \lambda = \lambda^r {\partial f(\vec{x})\over \partial x_i}$$ Für Ableitungen nach $x_i$ bzw. $x_j$ lässt sich folgendes Verhältnis formulieren: \begin{eqnarray*} {{\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_i)} \cdot \lambda \over {\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_j)}\cdot \lambda} \ &=& \ {\lambda^r {\partial f(\vec{x})\over \partial x_i}\over \lambda^r {\partial f(\vec{x})\over \partial x_j}}\\ \Leftrightarrow {{\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_i)}\over {\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_j)}} \ &=& \ {{\partial f(\vec{x})\over \partial x_i}\over {\partial f(\vec{x})\over \partial x_j}}\end{eqnarray*} |
Grenzrate der Substitution bei einer homogenen Produktionsfunktion |