\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Satz:

Bei einer homogenen Produktionsfunktion $f(\vec{x})$ hängt die Grenzrate der Substitution nur vom Faktorverhältnis ab: $$ \frac {\frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial (\lambda x_i)} }{ \frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial (\lambda x_j)} } \ = \ \frac{ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_i} }{ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_j} }$$
Grafisch lässt sich der Satz anhand der Abbildung veranschaulichen. Dort sind im Isoquantensystem einer homogenen Produktionsfunktion drei verschiedene Fahrstrahlen eingezeichnet. Es ist erkennbar, dass eine Ver-$\lambda$-fachung des Inputbündels $\vec{x}$ zu dem Bündel $\lambda \vec{x}$ auf den gleichen Fahrstrahl führt, und dass die Steigung der Isoquanten durch $\vec{x}$ gleich der Steigung der Isoquanten durch $\lambda \vec{x}$ ist. Das gleiche gilt mit anderen Steigungen auf allen anderen Fahrstrahlen.
Beweis
Aufgrund der Homogenität von $f$ gilt: $f(\lambda \vec{x}) = \lambda^r f(\vec{x})$ Leitet man beide Seiten dieser Gleichung jeweils nach $x_i$ ab, ergibt sich: $${\partial f(\lambda\vec{x})\over \partial (\lambda x_i)} \cdot \lambda = \lambda^r {\partial f(\vec{x})\over \partial x_i}$$ Für Ableitungen nach $x_i$ bzw. $x_j$ lässt sich folgendes Verhältnis formulieren: \begin{eqnarray*} {{\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_i)} \cdot \lambda \over {\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_j)}\cdot \lambda} \ &=& \ {\lambda^r {\partial f(\vec{x})\over \partial x_i}\over \lambda^r {\partial f(\vec{x})\over \partial x_j}}\\ \Leftrightarrow {{\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_i)}\over {\partial f(\lambda \vec{x})\over \partial (\lambda x_j)}} \ &=& \ {{\partial f(\vec{x})\over \partial x_i}\over {\partial f(\vec{x})\over \partial x_j}}\end{eqnarray*}

Grenzrate der Substitution bei einer homogenen Produktionsfunktion